Questão 4169093

4169093 Ano: 2026
Disciplina: Matemática
Banca: AOCP
Orgão: IF-CE

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Professor PEBTT - Análise
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ÁlgebraÁlgebra LinearDeterminantes
ÁlgebraÁlgebra LinearMatrizes

Considere a função f: \(\mathbb{R}\)² → \(\mathbb{R}\)² definida por:

f (x,y) = (x² - y², 2xy).

Seja P = (1,1) um ponto no domínio de f e Q = f (1,1) = (0,2), acerca da invertibilidade local de f em torno do ponto P, assinale a alternativa correta.

A função admite uma inversa local g = f ⁻¹ em uma vizinhança de Q, e a matriz Jacobiana de g no ponto Q, e a matriz Jacobiana de g no ponto Q é dada por J_g(0,2) = \(\begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 \\ -1/4 & 1/4 \end{pmatrix}\).

A função não é inversível em nenhuma vizinhança de P, porque o determinante do Jacobiano em P é zero.

A função admite uma inversa local g = f^-1em uma vizinhança de Q, e a matriz Jacobiana de g no ponto Q é dada por J_g (0,2) = \(\begin{pmatrix} 1/2 & 1/4 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}\) .

Como f(1,1) = f(−1,−1) = (0,2), o Teorema da Função Inversa garante que f não possui inversa em nenhuma vizinhança de P.

A matriz Jacobiana de f no ponto P é singular, o que impossibilita o cálculo da derivada da inversa.

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