Considere duas empresas em um mercado perfeitamente competitivo. As funções lucro das empresas 1 e 2 são definidas, respectivamente, por:
!$ \pi !$1 = !$ p !$!$ q !$1 − !$ c !$1 (!$ q !$1, !$ x !$)
!$ \pi !$2 = !$ p !$!$ q !$2 − !$ c !$2 (!$ q !$2, !$ x !$),
em que !$ p !$ é o preço, !$ q !$1 e !$ q !$2 são as quantidades produzidas pelas empresas 1 e 2, respectivamente; !$ c !$1( ) e !$ c !$2( ) são as funções custos das empresas 1 e 2, respectivamente, e !$ x !$ é o nível de poluição (externalidade) definido apenas pela empresa 1, de tal forma que, o custo marginal de !$ x !$ é negativo para a empresa 1 (!$ \dfrac{∂c_1}{∂x}<0 !$ )e positivo para a empresa 2 (!$ \dfrac{∂c_2}{∂x}>0 !$).
Considere duas situações:
1. A solução ótima de externalidade sem coordenação entre as empresas.
2. A solução ótima de externalidade com coordenação entre as empresas.
As condições de primeira ordem na solução ótima da externalidade nas situações 1 e 2 são, respectivamente,
