Texto para a questão.

Considere um sistema inicialmente no estado

!$ | \Psi \rangle = { \large 1 \over \sqrt{5}} | 1, -1 \rangle + \sqrt{ { \large 3 \over 5}}| 1,0 \rangle + { \large 1 \over 5} | 1,1 \rangle !$

em que !$ \langle \theta, \varphi |l, m \rangle = Y_l^m ( \theta, \varphi) !$ são harmônicos esféricos. Além disso, !$ \langle l^{ \prime}, m^{ \prime}| l, m \rangle = \delta_l, {}_l \delta_{m^{\prime},m} !$.

Considere que os operadores tipo escada referentes ao momento angular podem ser escritos como !$ L \pm | l, m \rangle = \hbar \sqrt{ ( l \pm m) ( l \mp m +1)} | l, m \pm 1 \rangle !$.

Sejam !$ L_z | l, m \rangle = m\,\hbar | l, m \rangle !$ e os valores para L_z, l_z, restritos a um conjunto de valores discretos. Considerando o estado do sistema descrito, caso L_z seja medido, os valores esperados que l_z pode assumir e suas probabilidades P_lz são respectivamente iguais a