Considerando as definições, propriedades etc. das funções trigonométricas, dados os argumentos,
I. Para todo real x, \( (\operatorname{sen}(x) + \cos(x))^2 = \operatorname{sen}^2(x) + 2\operatorname{sen}(x)\cos(x) + \cos^2(x) e, \) então \( (\operatorname{sen}(x) + \cos(x))^2 = 1 + \operatorname{sen}(2x), \) já que \( \operatorname{sen}^2(x) + \cos^2(x) = 1 e 2\operatorname{sen}(x)\cos(x) = \operatorname{sen}(2x). \) Daí, (sen(x) + cos(x))2 \( \geq \) 1.
II. Para todo real x tal que \( sen(x)\cos(x)\ne0, \) de \( \operatorname{sen}^2(x) + \cos^2(x) = 1, \) segue que \( \dfrac{1}{\cos\sec^2(x)}+\dfrac{1}{\sec^2(x)}=1 \) que dá \( \sec^2(x) + \operatorname{cossec}^2(x) = \sec^2(x)\operatorname{cossec}^2(x). \)
III. Para todo real x tal que \( \operatorname{sen}(x) \neq 0,(\operatorname{cotg}^2(x) + 1)(1 - \cos^2(x)) = \left(\dfrac{\cos^2(x)}{\operatorname{sen}^2(x)} + 1\right)(1 - \cos^2(x)), \) que dá \( (\cot g^2(x)+1)(1-\cos^2(x))=\dfrac{\cos^2(x)+sen^2(x)}{sen^2(x)}(1-\cos^2(x)). \) Daí, \( (\cot g^2(x)+1)(1-\cos^2(x))=\dfrac{1}{sen^2(x)}(1-\cos^2(x))=\dfrac{1}{sen^2(x)}-\dfrac{\cos^2(x)}{sen^2(x)}=\dfrac{1-\cos^2(x)}{sen^2(x)}=\dfrac{sen^2(x)}{sen^2(x)} \) e, portanto, \( (\operatorname{cotg}^2(x) + 1)(1 - \cos^2(x)) = 1. \)
verifica-se que é/são argumento/s matemático/s correto/s
