Durante uma aula no 3º ano do Ensino Médio, um professor propõe a análise da seguinte equação:
\( x \)³ − 6\( x \)² + 11\( x \) − 6 = 0
Um estudante, ao observar os coeficientes, utiliza corretamente as Relações de Girard e afirma que a soma das raízes é 6 e o produto também é 6. Em seguida, outro estudante questiona: “É possível determinar se as raízes são reais ou complexas sem resolver a equação explicitamente?”. O professor decide explorar essa dúvida como oportunidade para aprofundar a compreensão dos estudantes sobre as propriedades dos polinômios. Considerando os aspectos matemáticos envolvidos e o potencial pedagógico da situação, analise as assertivas a seguir:
I. Se um polinômio de grau \( n \) com coeficientes reais possui uma raiz complexa \( z \) = \( a \) + \( b \)\( i \) ( \( b \) ≠ 0), então seu conjugado \( \overline{z} \)= \( a \) − \( b \)\( i \) também é obrigatoriamente raiz do polinômio.
II. Para a equação \( x \)³ − 6\( x \)² + 11\( x \) − 6 = 0, as Relações de Girard permitem concluir que, se as raízes estiverem em progressão aritmética, a raiz central será necessariamente igual a 2.
III. O Teorema Fundamental da Álgebra garante que um polinômio de grau \( n \) ≥ 1 possui exatamente \( n \) raízes reais, contando multiplicidades.
IV. De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, se o polinômio \( P \)(\( x \)) \( x \)3 - 6\( x \)² + 11\( x \) − 6 possuir raízes racionais, elas pertencerão obrigatoriamente ao conjunto {−6, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 6}.
Quais estão corretas?
