Num Laboratório, um experimento consiste em um segmento de reta horizontal de comprimento L = 4R que se desloca verticalmente para baixo com velocidade constante v. No instante t = 0, o segmento está com seu ponto central na posição y = R, tangenciando o topo de um sensor circular, de raio R, centrado na origem (0,0), no ponto (0,R). Assinale a alternativa correta que apresenta a expressão para a área varrida A(t) pelo segmento dentro do círculo em função do tempo.

Seja X uma variável aleatória contínua cuja função de densidade de probabilidade segue uma lei de potência do tipo Pareto, definida por: \( f(x) = \{3/x^4, \text{ para } x \geq 1; 0, \text{ para } x < 1\}. \)

Determine a expressão para a Função de Distribuição Acumulada, denotada por \( F(x) = P(X \leq x) \) para o intervalo \( x \geq 1 \) .

A distribuição exponencial com parâmetro \( \lambda \) descreve o tempo entre eventos em um processo de Poisson. Determine a esperança matemática \( E[X] \) utilizando a definição integral: \( E[X] = \int_{0}^{\infty} x \lambda e^{-\lambda x} dx. \)

Uma cônica é descrita em coordenadas polares pela equação \( r=\dfrac{e\cdot d}{(1+e\cos\theta)} \). Sabe-se que a excentricidade da curva é \( e=\dfrac{2}{\sqrt{3}} \).

Assinale a alternativa correta que indica o ângulo agudo \( \beta \) formado entre as direções das duas assíntotas dessa hipérbole.

Um tanque tem a forma de um hemisfério perfeito de raio R = 6 m e está, inicialmente, cheio de água. Um dreno no vértice inferior (ponto mais baixo) é aberto, e o fluido começa a escoar. Se, em um determinado instante, o nível da água está a h = 3 m e a superfície livre do líquido está descendo a uma taxa de 0,1 m/min, então assinale a alternativa correta que indica a taxa de variação do volume dV/dt nesse exato momento.

O valor eficaz, ou RMS (Root Mean Square), de uma função periódica v(t), com período T, é definido matematicamente como a raiz quadrada da média do quadrado da função ao longo de um ciclo.

\( V_{RMS} = \sqrt{\dfrac{1}{T} \int_{0}^{T} [v(t)]^2 dt} \)

Considere o sinal de saída de um retificador de meia onda apresentado na figura, na qual a tensão é descrita por:

\( v(\omega t)=V_m\text{sen}(\omega t) \) para \( 0\le\omega t\le\pi; \)

\( v(\omega t)=0 \) para \( \pi < \omega t \le 2\pi. \)

Com base na figura e na aplicação do cálculo integral, assinale a alternativa correta que indica o valor de V_RMS em função da tensão de pico V_m.

Considere o sistema.

\( \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y + 4z = k \\ x + 4y + 10z = k^2 \end{cases} \)

Para quais valores de k o sistema possui infinitas soluções?

Considere a transformação linear \( T:\mathbf{R}^2\rightarrow\mathbf{R}^2 \) que rotaciona cada vetor em 90º no sentido anti-horário. Qual é a matriz canônica de T?

Considere a função \( g\left(x\right) \) definida para \( x\ne0 \) . por \( g(x) = \left( \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2} \right) \)

Para que \( g\left(x\right) \) seja contínua no ponto \( x=0 \) , qual valor deve ser atribuído a \( g\left(0\right) \) ?

Dadas as aplicações, considerando

\( \mathbf{R}^n = \{(x_1, x_2, \dots, x_n) | x_i \in \mathbf{R}, i = 1, 2, \dots, n\}, \)

I. \( P: \mathbf{R}^3 \rightarrow \mathbf{R}^3, P(x, y, z) = (x, y, 0). \)

II. \( Q: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}^2, Q(x, y) = (x + 1, y + 2). \)

III. \( N: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}^n, N(x_1, x_2, \dots, x_n) = (0, 0, \dots, 0). \)

verifica-se que é/são linear/es