Considere f uma função complexa holomorfa definida em conjunto aberto U e considere z₀ um ponto em U.

Suponha que o disco D ={z∈ℂ:|z−z₀| ≤ r} está contido em U e seja y o círculo correspondente ao bordo de D  orientado no sentido anti-horário. A fórmula integral de Cauchy propõe que, nessas condições, há \(\dfrac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \dfrac{f(z)}{z-z_0}\) dz.

Nesse contexto, a respeito da fórmula da integralde Cauchy, assinale a alternativa INCORRETA.

Preencha as lacunas e assinale a alternativa correta.

Mostraremos que, se existir uma função f ∈ C² tal que satisfaz a equação de Laplace Δ f  = 0 no disco unitário D ={(x,y) ∈ \(\mathbb{R}\)²: x² + y² < 1} com a condição de bordo f (x,y) = $\varphi $ (x,y) para pontos (x,y) ∈ ∂ D, então tal função é única. De fato, suponha que f e g são duas soluções para a equação de Laplace com a condição de bordo descrita.

Mostraremos que devemos ter f (x,y) = g (x,y), para todo (x,y) ∈ D. Note que a função h (x,y) = f  (x,y) − g  (x,y) é de classe C² e que Δ h = ________________, para todo ponto em D. Também temos que h  (x,y) = 0, para todo (x,y) ∈ ∂ D.

Aplicando a identidade de Green, obtemos \(\int\)_D|\(\vec{\nabla}\)h|² dA = − \(\int\)_D h Δ hdA + \(\oint_{\partial D}\)h\(\vec{\nabla}\)h.\( d\vec{s} \), em que \(\vec{\nabla}\)h denota o gradiente de h. Como Δ h= 0 em D e h=0 em∂ D, obtemos \(\int\)_D|\(\vec{\nabla}\)h|² dA   = 0.

Sendo |\(\vec{\nabla}\)h|² uma função não negativa, concluímos que \(\vec{\nabla}\)h = \(\vec{0}\). Como D é um conjunto __________________, concluímos que h deve ser __________________ em D. Uma vez que  h = 0 em ∂ D., segue que h é identicamente nula em D e que, portanto, f = g em D, como queríamos demonstrar.

Considere o campo vetorial \(\vec{F}\):\(\mathbb{R}\)³  → \(\mathbb{R}\)³ dado por 

\(\vec{F} (x,y,z) = (f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)),\) em que

f (x,y,z) = x +e^z . cos(y),
g (x,y,z) = y - z². sen(x),
h (x,y,z) =  z - x²  y ² _.

Seja S a superfície correspondente à fronteira da região sólida limitada pelo paraboloide z = 1 - x² -   y ² e pelo plano z = 0, com orientação voltada para fora, assinale a alternativa que apresenta o valor correto de 

\(\iint_S\) \(\vec{F}\) \( \overrightarrow{ds} \) , o fluxo do campo  \(\vec{F}\) através de S.

Considere a função f: \(\mathbb{R}\)² → \(\mathbb{R}\)² definida por:

                    f (x,y) = (x² - y², 2xy).

Seja P = (1,1) um ponto no domínio de f e Q = f (1,1) = (0,2), acerca da invertibilidade local de  f em torno do ponto P, assinale a alternativa correta.

Na função complexa f (z) = z²⋅sen\(\left(\dfrac{1}{2}\right)\), sobre o ponto z₀ = 0, é correto afirmar que

Considere a curva parametrizada y:[-1,1] → \(\mathbb{R}\)²  dada por y(t)=(t³−t²−t+1,t³- t).

Note que tal curva é fechada. Assinale a alternativa que apresenta o valor correto da área delimitada pela curva y.

Considere a função f: \(\mathbb{R}\)³  → \(\mathbb{R}\) dada por f (x, y, z) = x²y e a superfície S definida como S = {(x, y, z) ∈ \(\mathbb{R}\)³  : x² + y² = 2, -1 ≤ z ≤1}. O valor da integral de superfície \(\iint_S\)f dS é igual a