Uma amostra aleatória de tamanho 9 é extraída, com reposição, de uma população normalmente distribuída, média \( \mu \) e variância desconhecida. Deseja-se testar a hipótese, com base nos dados da amostra, que a média \( \mu \) da população é menor que 15 ao nível de significância de 5%. Foram formuladas as hipóteses: H₀: \( \mu \) = 15 (hipótese nula) e H₁: \( \mu \) < 15 e utilizou-se o teste t de Student.

Dados:

Quantis da distribuição t de Student (t_{\( \alpha \)}) tal que a probabilidade P(t > t_{\( \alpha \)}) = \( \alpha \) com n graus de liberdade:

n 7 8 9

t0,05 1,90 1,86 1,83

Se a variância amostral foi igual a 4, conclui-se que o menor valor que pode ser encontrado para a média amostral \( \bar{X} \) tal que não se cometa um erro tipo I é igual a

Seja a função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória X dada por f(x) = \( \lambda \)e^{−\( \lambda \)x}, se x > 0 e f(x) = 0, caso contrário. A partir de uma amostra aleatória de tamanho 5 correspondente a valores dessa variável, ou seja, {1, 2, 2, 3, 2}, obtém-se pelo método dos momentos que uma estimativa pontual de \( \lambda \) é igual a

A média e o desvio padrão de uma variável aleatória X, que apresenta uma distribuição binomial com parâmetros n e p, são iguais a 9 e 1,5, respectivamente. Sabendo-se que n é um número inteiro estritamente positivo e p \( \in \) [0, 1], então a função geradora de momentos de X, denotada por M_x(t), é igual a

Uma amostra aleatória de tamanho 36 é extraída, com reposição, de uma população normalmente distribuída com um desvio padrão populacional igual a 48. O valor encontrado para a média amostral foi igual a 468 e deseja-se testar a hipótese, com base nos dados da amostra e a um nível de significância \( \alpha \), que a média \( \mu \) da população é inferior a 480. Sejam as hipóteses H₀: \( \mu \) = 480 (hipótese nula) e H₁: \( \mu \) < 480 (hipótese alternativa).

Tem-se, então, que H₀ não é rejeitada

Observação: Caso necessário, utilize a Tabela da Distribuição Normal Reduzida.

O intervalo de confiança de 96% igual a [47, 53] para a média \( \mu \) de uma população normalmente distribuída com 325 elementos foi obtido por meio de uma amostra aleatória de 100 elementos, sem reposição, extraída da população. Na obtenção do intervalo, foi utilizada a variância populacional. Caso a opção fosse por extrair da população com 325 elementos uma amostra aleatória independente da primeira de tamanho 36, sem reposição, com um nível de confiança de 86%, a amplitude do novo intervalo seria, então, de

Para responder às questões de números 35 a 37, utilize a tabela abaixo correspondente à curva normal padrão (Z) tal que a probabilidade P(Z \( \le \) z) = \( \alpha \)

Em um órgão público com grande número de funcionários, observa-se que os salários desses funcionários estão normalmente distribuídos com média \( \mu \) e uma variância populacional igual a \( \alpha^2 \). Em um levantamento, apurou-se que 7% dos funcionários ganham menos que R$ 3.000,00 e 16% ganham mais que R$ 8.000,00.

A porcentagem de funcionários que ganham um salário que difere da média em mais de R$ 1.000,00 é igual a

Dado que uma variável aleatória X é uniformemente distribuída no intervalo (a, b), com a < b, obteve-se que a média e a variância de X foram iguais a 2 e 4/3, respectivamente. Se Y₁, Y₂ são as estatísticas de ordem de uma amostra aleatória de tamanho 2 extraída, com reposição, da população correspondente de X, então P(Y₂ > 3) é igual a

O número diário de atendimentos (N) registrados no Setor de Atendimento ao Consumidor de uma empresa obedece a uma distribuição de Poisson com média \( \lambda \) atendimentos por dia. Dado que a probabilidade de que em um dia seja registrado um atendimento é igual à metade da probabilidade de que em um dia sejam registrados 2 atendimentos, obtém-se que o coeficiente de variação correspondente à distribuição é igual a

O tempo de vida (T), em horas, de um determinado tipo de bateria é considerado como uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade \( f(t) \, = \, \begin {cases} \dfrac {1} {40} e^{t/40} , \,\, se \,\, t \, \ge \, 0 \\ 0, \,\, caso \,\, contr\acute{a}rio \end {cases}. \)

Dado que uma bateria apresentou um tempo de duração de 20 horas e ainda continua funcionando, a probabilidade de que ela dure, além das 20 horas, pelo menos mais o tempo correspondente à média de T é igual a

O custo pela realização de um experimento é igual a C e a probabilidade de se obter um sucesso no experimento é igual a p.

Caso ocorra um fracasso no experimento haverá um custo adicional de A, por serem necessárias correções no procedimento antes que a próxima tentativa seja executada. Se as provas forem independentes e se os experimentos continuarem até que o primeiro sucesso seja obtido, então o custo esperado de todo o processo será de