Considere um modelo de regressão linear múltipla na forma

!$ y \, = \, X\beta \, + \, \varepsilon, !$

em que !$ y !$ representa o vetor de respostas, !$ X !$ denota a matriz de dados,

!$ \beta \, = \, \begin {bmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \end {bmatrix} !$

é o vetor de coeficientes e !$ \varepsilon !$ é o vetor de erros aleatórios independentes e identicamente distribuídos. Admita, ainda, que cada elemento do vetor !$ \varepsilon !$ possui média zero e variância 4. Além disso, considere que !$ X' !$ represente a matriz transposta de !$ X !$ e que a matriz inversa de !$ X' \, X !$ seja

!$ (X' \, X)^{-1} \, = \, \begin {bmatrix} 0,2 \,\,\,\,\,\, -0,1 \,\,\,\,\,\, 0 \\ -0,1 \,\,\,\,\,\, 0,1 \,\,\,\,\,\, 0 \\ 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 0,1 \end {bmatrix}, !$

que !$ X' \, y \, = \, \begin {bmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end {bmatrix} !$ e que

!$ \hat{\beta} \, = \, \begin {bmatrix} \hat{\beta}_0 \\ \hat{\beta}_1 \\ \hat{\beta}_2 \end {bmatrix} !$

denota o estimador de mínimos quadrados ordinários de !$ \beta. !$

Acerca do modelo apresentado, julgue o próximo item.

Se o vetor !$ \varepsilon !$ for constituído por n elementos independentes que seguem uma distribuição normal com média zero e variância 4, então !$ \dfrac {1} {4} \varepsilon' \varepsilon !$ se distribui conforme uma distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade.