Suponha que !$ ( \Omega. \, A. \, P. ) !$ seja um espaço de probabilidade e que !$ X : \Omega \rightarrow \overline {\mathbb{R}} = [ - \infty, \infty] !$ é uma variável aleatória integrável em relação a !$ P !$, isto é,

!$ E (|X|) = \int_\Omega | X (w) | dP < \infty. !$

Dada uma função convexa !$ \varphi : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} !$, a relação !$ \varphi (E (X)) \le \quad E ( \varphi . X) !$ é conhecida na literatura como desigualdade de Jensen. As afirmações abaixo estabelecem uma possível demonstração dessa desigualdade.

I. Pode-se supor sem perde de generalidade, que !$ | X (w) | < \infty !$ para todo !$ w \in \Omega !$.

II. A função composta !$ \varphi \circ \quad X : \Omega \rightarrow \mathbb{R} !$ é uma variável aleatória.

III. O conjunto !$ Epi (\varphi) = \lbrace (x,t) \in \mathbb{R}^2 : \varphi (x) \le t \rbrace !$ é fechado e convexo.

IV. Supondo que !$ \varphi (E(X)) < \infty !$, então existem !$ a, \quad b \in \mathbb{R} !$ tais que

V. A desigualdade de Jensen é optida das duas relações do item IV, integrando-se a segunda delas em relação a !$ P !$.

Com o objetivo de justificar as etapas aqui apresentadas da demonstração da desigualdade de Jensen, julgue o item a seguir.

Se a variável aleatória !$ X : \Omega \rightarrow \overline {\mathbb{R}} !$ for não negativa e integrável, então o conjunto !$ \lbrace w \in \Omega \quad : \quad X(w) = \infty \rbrace !$