Considere uma amostra aleatória X₁, X₂, ..., X_n de uma distribuição geométrica

p(x) = \( \theta \)(1 – \( \theta \))^x, x = 0, 1, ...

O estimador de máxima verossimilhança de \( \theta \) é:

Em relação à distribuição qui-quadrado, avalie as afirmativas a seguir

I. Se X ₁, X ₂, ..., X _n são variáveis independentes normalmente distribuídas com médias µ _i e desvios padrões \( \sigma \) _i , i = 1, ..., n, então a variável \( \,Q\,=\,\sum\limits^{n}_{i=1}\,(\,\dfrac{X_i\,-\,\mu_i}{\sigma_i})^2 \)tem distribuição quiquadrado com (n – 1) graus de liberdade.0

II. Se U e V são variáveis aleatórias independentes e têm distribuição qui-quadrado com m e n graus de liberdade respectivamente, então U + V tem distribuição qui-quadrado com (m + n) graus de liberdade.

III. Se U tem distribuição qui-quadrado com k graus de liberdade, então E[ U ] = k e var[ U ] = 2k.

Assinale:

Uma amostra aleatória simples de tamanho 16 de uma variável populacional N (µ, \( \sigma \)²) foi observada e exibiu os seguintes resultados:

\( \mathrm\,{\overline\,{x}\,=\,58,4} \) e \( \mathrm{\,\sum\limits^{16}_{i=1}\,(X_i\,-\,\overline{x})^2\,=\,21,6} \)

O intervalo de 99% de confiança para µ é dado aproximadamente por:

Suponha que será observada uma amostra aleatória simples X ₁ , X ₂ , X ₃ , X₄ , de tamanho 4, de uma variável populacional com mé dia µ e avalie se os seguintes estimadores são não tendenciosos para µ:

T1 = (X ₁ + X ₂ + X₃ + X₄)/4
T2 = 2X ₁ + X ₂ + X₃ – 3X₄
T3 = X₁

Assinale:

Uma amostra aleatória simples X ₁ , X₂, X ₃ , X₄, de tamanho 4, de uma d istribuição normal com média µ e variância \( \sigma \)² foi observada e indicou

\( \mathrm{\,\sum\limits^{4}_{i=1}\,x_i\,=\,9,2} \) e \( \mathrm{\,\sum\limits^{4}_{i=1}\,x^2_i\,=\,37,16} \)

A estimativa de máxima verossimilhança de \( \sigma \) é igual a

Observação: Caso necessário, utilize a Tabela da Distribuição Normal Reduzida.

Se for observada uma amostra aleatória simples de tamanho 400 de uma variável populacional com desvio padrão igual a 5, a probabilidade de que o valor da média amostral difira do valor da média populacional por menos de 0,4 é aproximadamente igual a

A soma de n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com densidade exponencial com parâmetro \( \lambda \) tem distribuição

Se X tem distribuição exponencial parâmetro \( \lambda \), ou seja, se sua função de densidade de probabilidade é dada por

f(x) = \( \lambda \)e^{–\( \lambda \)x}, se x \( \ge \) 0
f(x) = 0, nos demais casos

Então o segundo momento de X é igual a

Se X tem distribuição Binomial com parâmetros n = 4 e p = 0,3, então a mediana de X é igual a

Observação: Caso necessário, utilize a Tabela da Distribuição Normal Reduzida.

Se X tem distribuição normal com média – 4 e variância 16, então P[X > 1] é aproximadamente igual a