Em modelos matemáticos de crescimento populacional ou de propagação de informações, é comum a utilização de funções logarítmicas compostas para descrever ritmos de crescimento que desaceleram com o passar do tempo. Um analista de dados de um Instituto Federal observou que o número acumulado de acessos N(t), em milhares, a uma nova plataforma de aprendizagem digital, em função do tempo t (em semanas, com t > 0), pode ser modelado pela função:

\( N(t) = \ln(t^2 + 1) \)

A taxa de variação instantânea do número de acessos em relação ao tempo quantifica a velocidade com que a plataforma ganha popularidade em um determinado instante. Com base nesse modelo, a taxa de variação instantânea do número de acessos à plataforma no instante t = 3, em milhar de acessos por semana, é de:

Uma empresa de telecomunicações instalou uma nova antena de internet em uma região plana. No mapa de planejamento técnico da empresa, que utiliza um sistema de coordenadas cartesianas com escala em quilômetros, a área máxima de cobertura do sinal dessa antena é delimitada por uma circunferência cuja equação geral é dada por: x² + y² - 8x + 6y - 12 = 0. Para dimensionar a viabilidade comercial da antena, a equipe de engenharia precisa calcular a área total da região que receberá o sinal estável. Diante disso, a área de cobertura de internet gerada por essa antena, em quilômetro quadrado, é igual a:

Um grupo de amigos está estimando os custos e o tempo necessário para realizar uma viagem. Para isso, eles dividiram o percurso em três etapas de mesma distância. No primeiro terço do trajeto, devido às condições da estrada, eles sabem que conseguirão manter uma velocidade média de 50 km/h. No segundo terço, em uma região de pista mais favorável, a velocidade média prevista será de 70 km/h. Já no último terço da viagem, em um trecho de melhores condições de tráfego, eles poderão percorrer o percurso a 75 km/h. Considere que não haverá paradas ao longo do trajeto e que as três etapas possuem a mesma distância. Nessas condições, qual será, aproximadamente, a velocidade média, em quilômetro por hora, desenvolvida pelo grupo durante toda a viagem?

Visando preservar a integridade física dos atletas e o espetáculo esportivo, a International Football Association Board (IFAB) permite que, em uma partida oficial de futebol, cada treinador realize até 5 substituições de jogadores, desde que essas alterações ocorram em, no máximo, 3 momentos (janelas de interrupção) com a bola parada durante o jogo (não contabilizando o intervalo). Um treinador decide que utilizará o limite máximo permitido pelas regras em uma partida decisiva. Ou seja, ele efetuará exatamente as 5 substituições permitidas distribuídas em exatamente 3 momentos distintos do jogo. Também não é considerada a identidade dos jogadores e leva-se em conta apenas a quantidade de alterações feitas em cada parada. Diante disso, de quantos modos diferentes esse treinador pode distribuir o número de substituições nesses 3 momentos?

Uma granja comercializa sua produção de ovos exclusivamente em lotes fechados de grande volume. Um revendedor comprou um desses lotes por R$ 9.000,00. Ele sabe que a composição padrão do lote adquirido segue a cadeia de embalagens descrita a seguir:

1. O lote é composto por 20 caixas.
2. Cada caixa contém 50 cubas.
3. Cada cuba comporta 30 ovos.

Visando planejar sua estratégia comercial, o revendedor estabeleceu como meta financeira obter, com a venda de todo o lote, uma receita total que seja 50% superior ao lucro obtido. Para alcançar exatamente a meta estabelecida, o valor unitário, em real, pelo qual o revendedor deve comercializar cada ovo é de:

Em um debate televisivo sobre políticas públicas de transporte e meio ambiente, um dos candidatos afirmou categoricamente:

Qualquer ônibus que circula em nossa capital é movido a energia limpa.

Dias após o debate, uma agência de checagem de fatos analisou a frota do Município e constatou que a declaração do candidato era falsa. Para provar logicamente que a afirmação do candidato estava INCORRETA, a agência de checagem precisou encontrar:

Para incentivar a leitura na comunidade, uma biblioteca itinerante organizou uma distribuição especial de livros infantis em uma praça pública. No final da tarde, o responsável pela ação percebeu que todos os livros do estoque haviam sido entregues para apenas três crianças. A primeira criança aproximou-se e levou a metade dos livros disponíveis no estoque mais meio livro. Em seguida, a segunda criança levou a metade do que havia restado mais meio livro. Por fim, a terceira criança levou a metade do novo restante mais meio livro, zerando completamente o estoque de livros da biblioteca itinerante. Sabe-se que nenhum livro foi rasgado ou dividido. Sendo x o número total de livros que havia inicialmente no estoque dessa biblioteca, podemos concluir que o valor de x é:

Um estatístico está analisando a fase classificatória de um torneio de futebol composto por 4 equipes: A, B, C e D. No regulamento dessa fase, todas as equipes se enfrentam exatamente uma vez (turno único). Com base no histórico das equipes, o especialista organizou uma matriz de probabilidades, na qual o valor presente na interseção da linha i com a coluna j representa a probabilidade de a equipe da linha i vencer a equipe da coluna j.

Considerando que as partidas também podem terminar em empate, o restante da probabilidade para cada confronto representa a chance de ocorrer igualdade ou a vitória da equipe adversária. Sabe-se ainda que os resultados das partidas são independentes entre si. Diante disso, a probabilidade de a equipe A vencer todos os seus jogos nessa fase é igual a:

Um fundo imobiliário de tijolo (FII) focado em contratos de aluguel atípicos possui quatro grandes imóveis em sua carteira. O gestor do fundo deseja calcular a duration média ponderada dos contratos de locação para apresentar o nível de risco de vacância aos seus cotistas. Essa métrica é essencial, pois quanto maior o prazo médio, mais previsível é a receita do fundo a longo prazo. A tabela a seguir apresenta o valor anual dos contratos de cada imóvel e o tempo restante de vigência de cada um deles:

Considerando as proporções financeiras de cada contrato na receita anual do fundo, a duration média ponderada dos contratos desse fundo imobiliário, em anos, é MAIS próxima de:

Um engenheiro foi contratado para projetar a estrutura do telhado da fachada de um galpão industrial. O projeto inicial prevê que a sustentação da cobertura seja dividida em duas partes simétricas, apoiadas sobre uma viga horizontal principal representada pelo segmento AB, cujo comprimento total é de 10 m. No esquema técnico apresentado a seguir, o ponto D representa o ponto médio do segmento AB. Os triângulos AED e BFD são retângulos em E e F, respectivamente, e são congruentes entre si.

Para garantir o perfeito escoamento da água da chuva, determinou-se que a altura do telhado - dada pela projeção ortogonal dos pontos E e F sobre o segmento AB - deve ser de exatamente 2 m.

Com base nessas especificações técnicas, a distância horizontal entre os topos E e F das duas partes desse telhado, em metro, é igual a: