Qual a probabilidade de que, escolhendo-se, ao acaso, um dígito !$ k\in\left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\} !$, o número 202k^202k resultante dessa escolha deixe resto 4 quando dividido por 5?

Aritmetisvalda chegou atrasada na aula e encontrou o seguinte problema no quadro: Sabe-se que o número 202k^202k, no qual o dígito k pertence ao conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, quando dividido por 5, deixa resto 1 ou 3.

Ajude Aritmetisvalda a desvendar esse problema, assinalando abaixo o único dígito que não pode ser posto no lugar de k:

Considere a função !$ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} !$ dada por !$ f\left(x\right)=e^{\cos\ x\cdot\sin\ x} !$. O produto de todos os !$ x\in\left[0,2\pi\right] !$ que são solução da equação !$ \left[f\left(x\right)\right]^2=e !$ é:

Sejam ABC um triângulo retângulo em A, P ∈ BC tal que !$ \overrightarrow{AP} !$ é a bissetriz de CÂB e Q ∈ AB o pé da perpendicular baixada de P até AB. Denote !$ \overline{AC}=b !$ e !$ \overline{AB}=c !$ e suponha que !$ b\ne c !$, !$ b>1 !$ e !$ c>1 !$. A área do triângulo PQB é:

Sejam !$ z_1 !$, !$ z_2 !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{C} !$ e !$ |z_1| !$!$ =\sqrt{23} !$, !$ |z_2| !$ !$ =20\sqrt{5} !$ e !$ \left|z_1-z_2\right| !$ !$ =17\sqrt{7} !$. O valor de !$ z_1 !$!$ \overline{z_2} !$!$ + !$ !$ \overline{z_1} !$ !$ z_2 !$ é:

Um passatempo matemático chamado CombinAr é formado por peças de mesma forma e tamanho, conforme ilustrado abaixo, contendo cada uma delas cinco bolinhas.

As peças do conjunto são todas diferentes entre si, pois, em cada uma, exatamente duas bolinhas são preenchidas e três são deixadas em branco. Em cada peça, as bolinhas que não estão em branco são preenchidas, cada uma, com um número natural menor que 10⁴ e cuja soma dos algarismos é igual a 12 (como mostra o exemplo a seguir), não podendo as duas bolinhas que não estão em branco numa cartela serem preenchidas com o mesmo número.

Denotando por A_n,p o arranjo de n elementos distintos tomados r a r e por C_n,p a combinação de n elementos distintos, tomados r a r, o número máximo de peças desse passatempo é:

Desenvolvendo a expressão algébrica !$ \left(x^3-2bx^2+cx+d+1\right)^{2023} !$, obtém-se um polinômio p(x) cuja soma dos coeficientes é igual a 1. Sabe-se que 0 e −1 são raízes de p(x).Assinale a alternativa que contém outra raiz desse polinômio.

Sabendo que a soma dos montantes dos investimentos I e II, ao final de 10 meses, foi igual a R$ 8370,00 e que os cálculos foram feitos, considerando 1,22 como aproximação de (1,02)¹⁰, em quantos reais o capital inicial aplicado no investimento I, excede o capital inicial 10 aplicado no investimento II?

Ainda não satisfeito, o professor Pitagorisvaldo resolveu utilizar coordenadas em seu estudo. A partir do desenho que ele fez para resolver a questão 4, introduziu, no plano !$ \Pi !$, um sistema ortogonal de coordenadas que tinha as seguintes características: a origem coincidiu com o ponto A, o semieixo positivo das abcissas coincidiu com a semirreta!$ \overrightarrow{AB} !$, o eixo das ordenadas coincidiu com a reta perpendicular à reta !$ \overleftrightarrow{AB} !$, passando por A, e o ponto C tinha, nesse sistema de coordenadas, abscissa negativa e ordenada positiva.

Nesse sistema de coordenadas, qual a equação da reta que liga os pontos B e C?

Qual dos números abaixo é o único que pode ser solução de uma equação da forma x² + bx + c = 0, em que b e c são números inteiros tais que MDC( b,2^k) =MDC(c,2^k) = 1 para todo k = 1,2,3,...?