Suponha !$ X \, = \, (X_1, \, X_2, \, X_3, \, X_4)^t !$ uma distribuição normal multivariada com matriz de covariância

!$ \Sigma \, = \, \begin {pmatrix} 2 \\ 1 \,\,\, 2 \\ -1 \,\,\, -1 \,\,\, 3 \\ 0 \,\,\, -1 \,\,\, 0 \,\,\, 2 \end {pmatrix} !$

A variância de !$ X_1 \, + \, X_2 \, + \, X_3 \, + \, X_4 !$ é:

Com o objetivo de testar se um treinamento virtual melhoraria o desempenho de uma determinada tarefa, 5 indivíduos foram submetidos ao treinamento virtual e comparados com outros 5 indivíduos que não tiveram esse treinamento.

Os indivíduos foram submetidos a uma mesma tarefa repetidas vezes, e seus desempenhos foram mensurados.

Posteriormente, os indivíduos foram ordenados conforme mostra a tabela abaixo.

A Posição 1 indica a melhor performance e 10, a pior. O Grupo “T” indica que o indivíduo teve treinamento, e “NT”, que não teve treinamento.

Utilizou-se a Linguagem R para efetuar vários testes.

Entretanto, o resultado para o teste de hipóteses mais adequado é:

Um estatístico utilizou um modelo de regressão linear simples, !$ Y \, = \, \beta_0 \, + \, \beta_1 \, X \, + \, \varepsilon, !$ para fazer predições.

O modelo, com 20 observações, foi bem ajustado, atendendo a todos os pressupostos necessários, e os resultados foram:

!$ \hat{\beta_0} \, = \, 5; \, \hat{\beta_1} \, = \, 1,5; !$ soma dos quadrados dos resíduos, 9; variância de x, 28 e média de x, 22.

O intervalo bilateral de 95% de confiança para predição quando !$ x \, = \, 18 !$ é, aproximadamente:

Um experimento de campo para aprimoramento do combate ao ataque de formigas testou o efeito de um novo modelo de porta-iscas.

O experimento consistiu em espalhar 20 porta-iscas do novo modelo e, após um período de tempo, verificou-se o consumo das iscas em cada um dos recipientes.

Os resultados foram computados do seguinte modo: quando o consumo das iscas foi maior que a mediana histórica do consumo, registrou-se um sinal “+” (positivo), quando menor, um sinal “-” negativo e, se o consumo foi igual ao consumo mediano, o registrado foi um ponto “.”.

Os resultados do experimento foram: 15 positivos, 3 negativos e 2 pontos.

Para auxiliar nos cálculos, segue a tabela que apresenta os valores de 0,5¹⁵; 0,5¹⁸ e 0,5²⁰ multiplicados por uma constante k:

Utilizando o nível de 5% de significância, a conclusão do teste de hipótese é:

Duas sociedades empresárias, X e Y, produzem o mesmo produto e têm seus processos de produção sob controle e centrados no ponto médio da faixa de especificação.

Ambas operam com os limites de tolerâncias de 3 desvios padrões, ou seja, 3 sigmas acima e 3 sigmas abaixo do ponto médio.

Sabe-se que a amplitude da faixa de especificação é 0,21 e que os desvios padrões para as unidades X e Y são, respectivamente, 0,03 e 0,04. Com base na capacidade do processo (Cp), conclui-se que:

Um estatístico deseja testar se os efeitos de utilizar dois lubrificantes, de marcas diferentes, no processo de fabricação de uma indústria, são distintos.

Para isso, ele planeja executar um experimento controlado, aplicando cada marca de lubrificantes em uma amostra de máquinas idênticas, ou seja, a escolha das máquinas não afeta o resultado do teste. As amostras de máquinas para testar cada lubrificante têm o mesmo tamanho.

Desse modo, o estatístico selecionou uma amostra aleatória simples, supondo a população infinita, com distribuição normal, e desvios padrões conhecidos iguais a 1,5 e 1,6.

O número de máquinas selecionadas para testar cada lubrificante, de tal forma que o erro na estimação da diferença entre as médias observadas seja menor que 1, com 95% de confiança, é:

Um processo experimental gera vetores com grande quantidade de observações.

Em uma execução do experimento, são gerados 5 milhões de vetores, cada um de tamanho 1.000.

Para reduzir o espaço de armazenamento de dados, armazena-se apenas a soma, !$ \Sigma_{\chi}, !$ e a soma dos quadrados, !$ \Sigma_{\chi^2}, !$ as observações de cada vetor.

Se, para um destes vetores, !$ \Sigma \, \chi \, = \, 800 !$ e !$ \Sigma \, \chi^2 \, = \, 999,64, !$ então o coeficiente de variação é, aproximadamente:

Utilizando a Linguagem R tem-se um objeto x como consta a seguir.

x

## [1] 1 3 4 3 4 <NA>

## Levels: 1 3 4

is.factor(x)

## [1] TRUE

O comando que resulta na soma dos elementos numéricos de x é:

Um estatístico deseja selecionar uma amostra aleatória simples, com reposição, de uma população em que a variância é conhecida e igual a 40.000.

A amostra precisa atender ao seguinte critério:

A amplitude máxima do intervalo bilateral de 95% de confiança para a média populacional deve ser de 200.

O menor tamanho de amostra que atende à condição descrita acima é:

Um arquivo de dados que foi compartilhado com você tem a extensão “csv”. Esse arquivo está nomeado como “arq.csv” e está no seu diretório de trabalho.

As quatro primeiras linhas desse arquivo estão apresentadas a seguir.

“1200,00”|”F”|”28”
“1387,00”|”M”|”26”
“3285,00”|”F”|”35”
“2784,00”|”M”|”-“

O símbolo “ – “, que está localizado na linha 4, coluna 3, significa um valor perdido ou “sem resposta”.

comando mais adequado para a leitura do arquivo é: