Julgue o item a seguir, considerando que \( T_n = T(X_1, \cdots, X_n) \) seja um estimador viciado para o parâmetro desconhecido \( \tau \)de uma população X , no qual _X1, …, X_n representa uma amostra aleatória simples de tamanho n , e denotando sua variância como \( D^2 = Var [T_n] \).

Supondo que T_n seja o estimador de máxima verossimilhança de \( \tau \), que a população pertença à família exponencial e que o tamanho da amostra n seja suficientemente grande, então a quantidade pivotal \( \dfrac{T_n - \tau}{D} \) segue aproximadamente a distribuição normal padrão.

Julgue o item a seguir, considerando que \( T_n = T(X_1, \cdots, X_n) \) seja um estimador viciado para o parâmetro desconhecido \( \tau \)de uma população X , no qual _X1, …, X_n representa uma amostra aleatória simples de tamanho n, e denotando sua variância como \( D^2 = Var [T_n] \).

Se [0,3; 0,9] representa o intervalo de 99% de confiança para \( \tau \), então \( P( \tau\,\in [ 0,3; 0,9]) = 0,99 \).

Uma amostra aleatória simples X₁, X₂, X₃, X₄ será retirada de uma população Bernoulli para testar a hipótese nula H₀:p = 0,2 contra a hipótese alternativa H₁:p = 0,4, em que p denota a probabilidade de sucesso de um ensaio de Bernoulli. A hipótese H₀ será rejeitada se \sum_{j =1}^4 X_j \ge 3; H₀ não será rejeitada se \sum_{j =1}^4 X_j \le 1; e se \sum_{j =1}^4 X_j =2, a hipótese nula será rejeitada com probabilidade \gamma.

Com base nessas informações, julgue o item seguinte.

Se o resultado da amostragem for 0, 0, 1, 0, o nível descritivo do teste será igual a 0,4096.

Uma amostra aleatória simples X₁, X₂, X₃, X₄ será retirada de uma população Bernoulli para testar a hipótese nula H₀:p = 0,2 contra a hipótese alternativa H₁:p = 0,4, em que p denota a probabilidade de sucesso de um ensaio de Bernoulli. A hipótese H₀ será rejeitada se \sum_{j =1}^4 X_j \ge 3; H₀ não será rejeitada se \sum_{j =1}^4 X_j \le 1; e se \sum_{j =1}^4 X_j =2, a hipótese nula será rejeitada com probabilidade \gamma.

Com base nessas informações, julgue o item seguinte.

Para que o tamanho do teste aleatorizado seja igual a 5%, o valor da probabilidade \( \gamma \) deverá ser igual a 0,1484375.

Uma amostra aleatória simples X₁, X₂, X₃, X₄ será retirada de uma população Bernoulli para testar a hipótese nula H₀:p = 0,2 contra a hipótese alternativa H₁:p = 0,4, em que p denota a probabilidade de sucesso de um ensaio de Bernoulli. A hipótese H₀ será rejeitada se \sum_{j =1}^4 X_j \ge 3; H₀ não será rejeitada se \sum_{j =1}^4 X_j \le 1; e se \sum_{j =1}^4 X_j =2, a hipótese nula será rejeitada com probabilidade \gamma.

Com base nessas informações, julgue o item seguinte.

Comparativamente a outros testes de mesmo tamanho, o teste em tela é considerado uniformemente mais poderoso.

Uma amostra aleatória simples de tamanho n > 1 é retirada de uma distribuição exponencial com média \( \mu \); tal amostra é representada pelo conjunto {W₁, …,W_n} constituído por n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas.

Tendo como referência as informações precedentes, julgue o próximo item.

O vetor \( ( \sum_{k=1}^n W_k, \sum_{ k=1}^n, W_k^2)^{ \prime} \) representa uma estatística conjuntamente suficiente para a estimação da média \( \mu \) e da variância populacional.

Uma amostra aleatória simples de tamanho n > 1 é retirada de uma distribuição exponencial com média \( \mu \); tal amostra é representada pelo conjunto {W₁, …,W_n} constituído por n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas.

Tendo como referência as informações precedentes, julgue o próximo item.

Se \( \bar{W} \)denota a média amostral, então o estimador de máxima verossimilhança para a mediana populacional é \( \bar{W} x In(2) \).

Uma amostra aleatória simples de tamanho n > 1 é retirada de uma distribuição exponencial com média \( \mu \); tal amostra é representada pelo conjunto {W₁, …,W_n} constituído por n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas.

Tendo como referência as informações precedentes, julgue o próximo item.

Um estimador consistente da média \( \mu \) é \( \dfrac{1}{n +5} \sum_{ k=1}^{n-1} (W_k + 2) \).

Uma amostra aleatória simples de tamanho n > 1 é retirada de uma distribuição exponencial com média \mu; tal amostra é representada pelo conjunto {W₁, …,W_n} constituído por n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas.

Tendo como referência as informações precedentes, julgue o próximo item.

Para n suficientemente grande, a estatística \( \dfrac{n}{ \sum_{ K =1}^n W_k} \) segue aproximadamente uma distribuição normal.