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Numa regressão múltipla \( y=Xβ \) + e, \( y \) é um vetor nx1, \( β \) é um vetor px1, e é um vetor nx1 e \( X \) é uma matriz nxp. Nesse caso, se \( X \)’ é a matriz transposta de \( X \), então os estimadores de mínimos quadrados dos parâmetros \( β \) serão dados pelas soluções de
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Há casos em que devemos pensar numa população dividida em subpopulações ou estratos, sendo conveniente supor que a variável de interesse se comporta de modo bem diferente de estrato em estrato, mas com comportamento razoavelmente homogêneo dentro de cada estrato. Em tais casos, o sorteio dos elementos da amostra deve levar em conta a existência dos estratos. Para evitar problemas com seleções mal feitas pode-se adotar a amostragem estratificada.
Avalie se as seguintes afirmativas acerca da amostragem estratificada são verdadeiras (V) ou falsas (F).
( ) A amostragem estratificada especifica quantos elementos da amostra serão retirados em cada estrato. Frequentemente consideram-se três tipos de amostragem estratificada: uniforme, proporcional e ótima.
( ) Na amostragem estratificada uniforme, um mesmo número de elementos é sorteado em cada estrato.
( ) Na amostragem proporcional, o número de elementos sorteados em cada estrato é proporcional ao número de elementos existentes no estrato.
( ) A amostragem estratificada ótima seleciona, em cada estrato, um número de elementos proporcional ao número de elementos do estrato e também à variação da variável de interesse no estrato, medida pelo seu desvio padrão.
As afirmativas são, respectivamente,
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Para se avaliar se duas amostras independentes, obtidas de diferentes fontes, podem ser supostas como oriundas de uma mesma variável aleatória populacional, os seguintes dados foram observados:
• Amostra 1: 35 40 45 46 56 60 100
• Amostra 2: 22 44 61 66 70 75 82 90 92 98
Se o pesquisador usar o teste U de Wilcoxon – Mann – Whitney, então o valor da estatística U para esse problema é igual a
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Considere que uma amostra aleatória de tamanho 64 de uma distribuição normal com média \( μ \) e variância 16 será obtida para testar H0: \( μ \) ≤ 12 versus H1: \( μ \) > 12 e que será usado o critério de decisão que rejeita H0 se \( \overline{x} \) > 13,165.
Nesse caso, o tamanho desse teste é aproximadamente igual a
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Para testar se certa droga é capaz de, em média, reduzir o peso de pessoas adultas saudáveis, uma pequena amostra aleatória de indivíduos foi submetida a duas medidas, uma antes e outra após o tratamento pelo período recomendado.
Suponha que as variáveis peso antes do tratamento e peso após o tratamento sejam supostas normalmente distribuídas com médias \( λ_A \) e \( λ_D \), respectivamente.
Os resultados (em kg) foram
|
indiv. |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|
antes |
98 | 84 | 86 | 105 | 78 | 84 | 89 | 96 |
|
depois |
90 | 80 | 78 | 91 | 77 | 80 | 88 | 88 |
No teste H0: \( λ_A \) \( \ge \) \( λ_D \) versus H1: \( λ_A \) < \( λ_D \), assinale a opção que indica o valor aproximado da estatística de teste usual observada t sob \( λ_A \)A = \( λ_D \), o critério de decisão e a respectiva conclusão.
[use \( \sqrt{2} \) = 2,8; \( \sqrt{19} \) = 4,4, se precisar]
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Para testar a hipótese nula de que as probabilidades de classificação em cinco classes são todas igualmente prováveis, uma amostra de 200 indivíduos mostrou os seguintes resultados:
|
Classe |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
Frequência |
50 | 40 | 30 | 30 | 50 |
O valor da estatística qui-quadrado usual sob a hipótese nula é igual a
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Avalie se as seguintes afirmativas acerca de suficiência estão corretas.
I. Se X1, X2, ... Xn é uma amostra aleatória de uma densidade f parametrizada por um parâmetro \( θ \), então uma estatística S é suficiente se e somente se a distribuição condicional de X1, X2, ... Xn dado S = s é independente de \( θ \) para todo valor s de S.
II. Se X1, X2, ... Xn é uma amostra aleatória de uma densidade f parametrizada por um parâmetro \( θ \), uma estatística S = s(X1, X2, ... Xn) é suficiente se e somente se a densidade conjunta de X1, X2, ... Xn fatora como uma função g(s; \( θ \)) não negativa que depende de x1, x2, ... xn apenas por meio de s multiplicada por uma função h(x1, x2, ... xn) não negativa e independente de \( θ \).
III. Um estimador de máxima verossimilhança de um parâmetro \( θ \) só depende da amostra por meio de uma estatística suficiente.
Está correto o que se afirma em
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A seguinte amostra aleatória simples foi observada de uma distribuição Bernoulli(p):
1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1
Nesse caso, a estimativa de máxima verossimilhança de p é igual a
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Uma amostra aleatória simples X1, X2,..., X400, de tamanho 400, foi obtida de uma distribuição normal com média desconhecida \( μ \) . Os seguintes dados foram observados:
\( \overline{x} \)= 6 e \( \sum_{i=1}^{400}X_i^2=17.991 \)
Um intervalo aproximado de 95% de confiança para \( μ \) será então dado por
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Considere uma amostra aleatória simples X1, X2,..., Xn de uma variável aleatória populacional X com média \( μ \) e variância \( \sigma \)2 .
Sejam: \( \overline{X} \) = \( \dfrac{\sum_{i=1}^nX_i}{n} \) e S2 = \( \dfrac{\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\right)^2}{n} \)
Em relação à estimação de \( μ \) e de \( \sigma \)2, avalie se as seguintes afirmativas são verdadeiras (V) ou falsas (F).
( ) \( \overline{X} \) é estimador não tendencioso de variância uniformemente mínima de \( μ \).
( ) \( S \)2 é estimador não tendencioso de \( \sigma \)2 .
( ) \( \overline{X} \) é estimador de máxima verossimilhança de \( μ \) .
( ) \( S \)2 é estimador de máxima verossimilhança de \( \sigma \)2 .
As afirmativas são, respectivamente,
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