Em trigonometria, a Lei dos Cossenos afirma que em qualquer triângulo com lados a, b, c e ângulos opostos A, B, C, respectivamente, tem-se a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A). Se o triângulo for retângulo em A, então cos(A) = 0, e a Lei dos Cossenos se reduz ao Teorema de Pitágoras, demonstrando a universalidade dessa lei e sua relação com casos específicos de triângulos, e ademais, o mesmo acontece com o seno quando o ângulo se anula ou atinge À.

A equação da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e possui coeficiente angular m é dada por y - y0 = m(x - x0). Se uma reta não é vertical, ela sempre possui um coeficiente angular bem definido. Além disso, a distância de um ponto P(x1, y1) a uma reta ax + by + c = 0 é dada por |ax1 + by1 + c| / sqrt(a^2 + b^2), e essa fórmula é aplicável mesmo se a reta for vertical ou horizontal, o que descomplica o cálculo em geometrias específicas.

O produto vetorial entre dois vetores não nulos u e v no espaço tridimensional resulta em um vetor w que é ortogonal a ambos u e v. O módulo de w é dado por |u||v|sen¸, onde ¸ é o ângulo entre u e v. Se u e v forem paralelos, o produto vetorial será o vetor nulo, e o produto escalar entre u e v será nulo, visto que o ângulo entre eles

Se f(x) é uma função contínua em um intervalo [a, b], então existe um número c em (a, b) tal que a derivada de f em c é igual à taxa de variação média de f sobre [a, b], conforme o Teorema do Valor Médio. No entanto, se f(x) for apenas contínua e não diferenciável em algum ponto do intervalo, o teorema ainda se aplica, pois a diferenciabilidade em todo o intervalo não é uma condição prévia, o que é uma interpretação incorreta do teorema.

Dada uma sequência recursiva a_n = 2 * a_{n-1} + 1 para n "e2, com a_1 = 1. A soma dos primeiros n termos desta sequência pode ser obtida por uma fórmula fechada que envolve potências de 2 subtraídas por n. Esta sequência, sendo aritmética-geométrica, pode ser resolvida pelo método da substituição iterada ou por artifícios de linearização, convergindo se a razão de sua parte geométrica for menor que 1, o que não é o caso aqui.

A elipse, a parábola e a hipérbole são seções cônicas que podem ser obtidas pela intersecção de um plano com um cone duplo. Se o plano de corte for paralelo à geratriz do cone e passar pelo seu vértice, a seção cônica resultante será uma parábola degenerada, que é uma linha reta, representando um caso limite em que a excentricidade tende para 1.

Em análise combinatória, se n e k são inteiros positivos com n "e k, então C(n, k) = C(n, n-k), e essa propriedade de simetria dos coeficientes binomiais é a base para provar que a soma de todos os coeficientes de um binômio (a+b)^n é 2^n, sendo válida tanto para arranjos simples, quanto para arranjos com repetição, devido à interpretação de Pascal na construção do triângulo.

Situação hipotética: Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 azuis. Duas bolas são retiradas sucessivamente sem reposição. Assertiva: A probabilidade de que a segunda bola retirada seja azul, dado que a primeira foi vermelha, é maior do que a probabilidade de ambas as bolas serem azuis, pois a condição de retirada sem reposição altera o espaço amostral para o segundo evento, tornando-o dependente do primeiro.

A reta tangente à parábola y = x^2 no ponto (a, a^2) intercepta o eixo y em um ponto que é a translação vertical de -a^2 unidades do vértice da parábola, assumindo a "` 0, e a inclinação dessa reta é dada pela primeira derivada da função naquele ponto, confirmando que a tangente é sempre paralela à corda que une o ponto de tangência ao ponto onde a projeção da mediatriz do segmento entre eles intercepta o eixo da parábola.

Considera-se a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem y'' + p(t)y' + q(t)y = 0. Se y1(t) e y2(t) são duas soluções linearmente independentes desta equação em um intervalo I, então o Wronskiano W(y1, y2)(t) é constante no intervalo I, o que é uma propriedade geral para quaisquer equações lineares de segunda ordem com coeficientes contínuos em I.