Considere o espaço !$ L^2 (0,1) !$ com medida de Lebesgue e a norma usual !$ || \, \bullet \, || !$. Suponha que !$ T : L^2 (0, 1) \rightarrow \mathbb{R} !$ seja uma aplicação linear contínua e defina !$ \varphi : L^2(0,1) \rightarrow \mathbb{R} !$ por

!$ \varphi (u) = {1 \over 2} || u ||^2 - T (u), \forall \quad u \quad \in L^2 (0,1). !$

Considere o espaço !$ L^2 (0,1) !$ com medida de Lebesgue e a norma usual !$ || \, \bullet \, || !$. Suponha que !$ T : L^2 (0, 1) \rightarrow \mathbb{R} !$ seja uma aplicação linear contínua e defina !$ \varphi : L^2(0,1) \rightarrow \mathbb{R} !$ por

!$ \varphi (u) = {1 \over 2} || u ||^2 - T (u), \forall \quad u \quad \in L^2 (0,1). !$

!$ \varphi !$ é fracamente semicontínua inferiormente, isto é, vale a desigualdade !$ \varphi (u) \le \quad lim \quad inf \quad \varphi (u_n) !$, se !$ \lbrace u_n \rbrace !$ converge fracamente para !$ u !$.

!$ \int \limits_0^1 \left [ \int \limits_0^1 f (x,y) dx \right ] dy !$

existe.

Considere !$ A = \, [a_{ij}] !$ uma matriz !$ n \times n !$ positiva, isto é, !$ a_{ij} > 0 !$ para todo !$ i !$ e !$ j !$. Considere ainda,

!$ L_+^{n-1} = \lbrace x = (x_1,...,x_n) \in \mathbb{R}^n : x_i \ge 0,1 \le i \le n, \quad \mbox e \quad \sum \limits_{i = 1}^n x_i = 1 \rbrace !$

e a aplicação !$ T : \, L_+^{n-1}, !$ definida por !$ T (x) = [ \lambda (x)]^{-1} Ax !$, em que !$ A_x = A [x] !$ é o produto da matriz !$ A !$ pelo vetor coluna !$ [x]_{nx1} !$ e !$ \lambda (x) > 0 !$ é escolhido de forma que !$ T(x) \in L_+^{n-1} . !$

Considere o espaço !$ L^2 (0,1) !$ com medida de Lebesgue e a norma usual !$ || \, \bullet \, || !$. Suponha que !$ T : L^2 (0, 1) \rightarrow \mathbb{R} !$ seja uma aplicação linear contínua e defina !$ \varphi : L^2(0,1) \rightarrow \mathbb{R} !$ por

!$ \varphi (u) = {1 \over 2} || u ||^2 - T (u), \forall \quad u \quad \in L^2 (0,1). !$

Considere !$ A = \, [a_{ij}] !$ uma matriz !$ n \times n !$ positiva, isto é, !$ a_{ij} > 0 !$ para todo !$ i !$ e !$ j !$. Considere ainda,

!$ L_+^{n-1} = \lbrace x = (x_1,...,x_n) \in \mathbb{R}^n : x_i \ge 0,1 \le i \le n, \quad \mbox e \quad \sum \limits_{i = 1}^n x_i = 1 \rbrace !$

e a aplicação !$ T : \, L_+^{n-1}, !$ definida por !$ T (x) = [ \lambda (x)]^{-1} Ax !$, em que !$ A_x = A [x] !$ é o produto da matriz !$ A !$ pelo vetor coluna !$ [x]_{nx1} !$ e !$ \lambda (x) > 0 !$ é escolhido de forma que !$ T(x) \in L_+^{n-1} . !$

Com base nessas informações, julgue o item a seguir.

Se !$ x> 0 !$, isto é, !$ x_i > 0 !$ para todo !$ i !$ e !$ x_i > 0 !$ para algum !$ i !$, então !$ Ax \ne 0 . !$

Considere a função

!$ f : [0,1] \times [0,1] \rightarrow \mathbb{R} !$ definida por !$ f\,(x,y)\,=\,\begin{cases}\,1,\,\mathrm\,{\,se\,x\,e\,racional}\,\\\,2y,\,\mathrm\,{\,se\,x\,e\,irracional}\,\end{cases} !$

Acerca dessa função, julgue o item abaixo.

A integral iterada de Riemann

!$ \int \limits_{0}^{1} \left [ \int \limits_{0}^{1} f (x,y) dy \right ] dx !$

não existe.

Considere uma firma caracterizada por uma tecnologia ou, equivalentemente, suponha que exista um conjunto convexo !$ Y \subset \mathbb{R}^n !$, contendo a origem , que esteja associado à produção dessa firma. Pode-se interpretar !$ Y !$ como o conjunto dos pontos !$ y = (y_1, ... y_n) !$ nos quais a firma pode operar; se !$ y_i \le 0 !$, a firma está usando o bem !$ i !$ como insumo para a produção e se !$ y_i \ge 0 !$, a firma está produzindo o bem !$ i !$. Dado um preço

!$ p \in L _+^{n -1} = \lbrace (p_1, ..., p_n) \in \mathbb{R}^n : p_i \ge 0, \quad \quad1 \le i \le n, \quad e \quad \sum \limits_{ i= 1}^n p_i = 1 \rbrace !$

!$ p.y {= \sum \limits_{i = 1}^n p_i y_i} . !$

Suponha que para o preço !$ p !$, o objetivo da firma seja buscar o conjunto dos níveis de atividade !$ \psi (p) !$ que maximizem o seu lucro. Nesse modelo, !$ \psi : L_+^{n-1} \rightarrow P (Y) !$ é uma correspondência determinada pela relação

!$ P (Y) !$ denota o conjunto das partes de !$ Y !$.

Diz-se uma correspondência !$ \varphi !$!$ : X \rightarrow P (Y) !$, em que !$ X \subset \mathbb{R}^m !$ e !$ Y \subset \mathbb{R}^n !$, é semicontínua superiormente (s.c.s) se para !$ x \in X !$e !$ y \in Y !$, e para quaisquer pares de seqüências !$ \lbrace x_k \rbrace !$!$ \subset !$!$ X !$, !$ \lbrace y_k \rbrace !$!$ \subset !$!$ Y !$, tais que !$ y_k \in \varphi (x_k) !$ para todo !$ k \in \mathbb{N}, \quad x_k \rightarrow x \quad e \quad y_k \rightarrow !$!$ y !$, tem-se !$ y \in \varphi (x). !$

Julgue o item que se segue.

Para cada !$ n \in \mathbb{N} !$, defina a função !$ f_n (x) = n^2 x (1 - x)^n !$, para !$ x \in [0,1] . !$ Então

!$ \lim _{n \rightarrow \infty} \int _0 ^1 f_n (x) dx = \int _0^1 \lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x) dx !$

Considere o subconjunto do espaço euclidiano

!$ \overline {B} (0,1) = \lbrace x = ( x_1,... x_m) \quad \in \mathbb{R}^m : \ | x \ |^2 = \sum \limits^m_{i = 1} x^2_i \le 1 !$

e a aplicação

!$ f : \overline {B} (0,1) \rightarrow \overline {B} (0,1). !$

Suponha que exista !$ \theta \ge 1 !$ tal que

!$ || f (x) - f (y) || \le || x - y ||^{ \theta}, \forall x, y \in \overline {B} (0,1). !$

Dado !$ n \in \mathbb{N}, !$ considere !$ f_n = \lambda_n f !$, em que !$ \lbrace \lambda_n \rbrace !$ é uma seqüência de números reais do intervalo !$ (0,1) !$ que satisfaz à condição !$ { lim \\ n^{ \rightarrow \infty} } \lambda_n = 1. !$

Com base nesses dados, julgue o item seguinte.

Para cada !$ n \in \mathbb{N}, f_n !$ tem um único ponto fixo, isto é, existe um único !$ \xi_n \in \overline {B} (0,1) !$ tal que !$ f_n (\xi_n) = \xi_n. !$