Considere !$ A = \, [a_{ij}] !$ uma matriz !$ n \times n !$ positiva, isto é, !$ a_{ij} > 0 !$ para todo !$ i !$ e !$ j !$. Considere ainda,

!$ L_+^{n-1} = \lbrace x = (x_1,...,x_n) \in \mathbb{R}^n : x_i \ge 0,1 \le i \le n, \quad \mbox e \quad \sum \limits_{i = 1}^n x_i = 1 \rbrace !$

e a aplicação !$ T : \, L_+^{n-1}, !$ definida por !$ T (x) = [ \lambda (x)]^{-1} Ax !$, em que !$ A_x = A [x] !$ é o produto da matriz !$ A !$ pelo vetor coluna !$ [x]_{nx1} !$ e !$ \lambda (x) > 0 !$ é escolhido de forma que !$ T(x) \in L_+^{n-1} . !$

Se !$ B !$ é uma matriz !$ n \times n !$ com entradas não negativas, então !$ B !$ possui um autovalor !$ \lambda > 0 !$ e um autovetor de componentes não-negativas associados a !$ \lambda !$.

Considere o subconjunto do espaço euclidiano

!$ \overline {B} (0,1) = \lbrace x = ( x_1,... x_m) \quad \in \mathbb{R}^m : \ | x \ |^2 = \sum \limits^m_{i = 1} x^2_i \le 1 !$

!$ f : \overline {B} (0,1) \rightarrow \overline {B} (0,1). !$

!$ || f (x) - f (y) || \le || x - y ||^{ \theta}, \forall x, y \in \overline {B} (0,1). !$

Dado !$ n \in \mathbb{N}, !$ considere !$ f_n = \lambda_n f !$, em que !$ \lbrace \lambda_n \rbrace !$ é uma seqüência de números reais do intervalo !$ (0,1) !$ que satisfaz à condição !$ { lim \\ n^{ \rightarrow \infty} } \lambda_n = 1. !$

Com base nesses dados, julgue o item seguinte.

A função !$ f !$ possui pelo menos um ponto fixo, isto é, !$ f (\xi) = \xi !$ para algum !$ \xi \in \overline {B} (0,1). !$

!$ a \le x \le b, \quad \quad y_0 - \eta \le y \le y_0 + \eta , !$

para algum !$ \eta > 0. !$ Definindo !$ F(y) = {d \over dy} \int \limits_a^b f (x,y) dx !$ e !$ G(y) = \int \limits_a^b {\partial f \over \partial y} dx, !$ então !$ F(y_0) = G(y_0). !$

Considere !$ E !$ um espaço vetorial normado com norma !$ || \bullet || !$ e !$ E^* !$ o seu espaço dual, formado pelos funcionais contínuos !$ f : E \rightarrow \mathbb{R} !$, dotado da norma dual:

!$ F !$ for um subespaço vetorial de !$ E !$ tal que o fecho !$ \overline {F} !$!$ E !$, então um funcional !$ f \in E^* !$ será identicamente nulo se, e somente se, !$ f (x) = 0 !$ para todo !$ x \in F !$.

Considere !$ A = \, [a_{ij}] !$ uma matriz !$ n \times n !$ positiva, isto é, !$ a_{ij} > 0 !$ para todo !$ i !$ e !$ j !$. Considere ainda,

!$ L_+^{n-1} = \lbrace x = (x_1,...,x_n) \in \mathbb{R}^n : x_i \ge 0,1 \le i \le n, \quad \mbox e \quad \sum \limits_{i = 1}^n x_i = 1 \rbrace !$

e a aplicação !$ T : \, L_+^{n-1}, !$ definida por !$ T (x) = [ \lambda (x)]^{-1} Ax !$, em que !$ A_x = A [x] !$ é o produto da matriz !$ A !$ pelo vetor coluna !$ [x]_{nx1} !$ e !$ \lambda (x) > 0 !$ é escolhido de forma que !$ T(x) \in L_+^{n-1} . !$

Com base nessas informações, julgue o item a seguir.

!$ L_+^{n-1} !$ é um subconjunto compacto e convexo de !$ \mathbb{R}^n !$.

Considere o espaço !$ L^2 (0,1) !$ com medida de Lebesgue e a norma usual !$ || \, \bullet \, || !$. Suponha que !$ T : L^2 (0, 1) \rightarrow \mathbb{R} !$ seja uma aplicação linear contínua e defina !$ \varphi : L^2(0,1) \rightarrow \mathbb{R} !$ por

!$ \varphi (u) = {1 \over 2} || u ||^2 - T (u), \forall \quad u \quad \in L^2 (0,1). !$

!$ \varphi !$ não é coerciva, isto é, existe uma sequência não-limitada !$ \lbrace u_n \rbrace \subset \quad L^2 (0,1) !$ tal que a sequência !$ \lbrace \varphi (u_n) \rbrace \subset \mathbb{R} !$ é limitada superiormente.

!$ \int \limits_0^1 f^2 (x) dx = 1 !$

então

!$ {\int \limits_0^1 x f (x) f' (x) dx = {-{1 \over 2}} } \quad \mbox e !$ !$ \int \limits_0^1 [f' (x) ]^2 dx . \int \limits_0^1 x^2 f^2 (x) dx \ge {1 \over 4} . !$

Considere uma firma caracterizada por uma tecnologia ou, equivalentemente, suponha que exista um conjunto convexo !$ Y \subset \mathbb{R}^n !$, contendo a origem , que esteja associado à produção dessa firma. Pode-se interpretar !$ Y !$ como o conjunto dos pontos !$ y = (y_1, ... y_n) !$ nos quais a firma pode operar; se !$ y_i \le 0 !$, a firma está usando o bem !$ i !$ como insumo para a produção e se !$ y_i \ge 0 !$, a firma está produzindo o bem !$ i !$. Dado um preço

!$ p \in L _+^{n -1} = \lbrace (p_1, ..., p_n) \in \mathbb{R}^n : p_i \ge 0, \quad \quad1 \le i \le n, \quad e \quad \sum \limits_{ i= 1}^n p_i = 1 \rbrace !$

!$ p.y {= \sum \limits_{i = 1}^n p_i y_i} . !$

Suponha que para o preço !$ p !$, o objetivo da firma seja buscar o conjunto dos níveis de atividade !$ \psi (p) !$ que maximizem o seu lucro. Nesse modelo, !$ \psi : L_+^{n-1} \rightarrow P (Y) !$ é uma correspondência determinada pela relação

!$ P (Y) !$ denota o conjunto das partes de !$ Y !$.

Diz-se uma correspondência !$ \varphi !$!$ : X \rightarrow P (Y) !$, em que !$ X \subset \mathbb{R}^m !$ e !$ Y \subset \mathbb{R}^n !$, é semicontínua superiormente (s.c.s) se para !$ x \in X !$e !$ y \in Y !$, e para quaisquer pares de seqüências !$ \lbrace x_k \rbrace !$!$ \subset !$!$ X !$, !$ \lbrace y_k \rbrace !$!$ \subset !$!$ Y !$, tais que !$ y_k \in \varphi (x_k) !$ para todo !$ k \in \mathbb{N}, \quad x_k \rightarrow x \quad e \quad y_k \rightarrow !$!$ y !$, tem-se !$ y \in \varphi (x). !$