Considere !$ E !$ um espaço vetorial normado com norma !$ || \bullet || !$ e !$ E^* !$ o seu espaço dual, formado pelos funcionais contínuos !$ f \quad : \quad E \rightarrow \mathbb{R} !$, dotado da norma dual:

!$ \overline {B} (0,1) = \lbrace x \in E : || x || \le 1 \rbrace !$ e se !$ \varphi : \overline {B} (0,1) \rightarrow \mathbb{R} !$ for uma funão contínua, então existirá um elemento !$ x_0 \in \overline {B} (0,1) !$ tal que !$ \varphi (x_0) \le \varphi (x), \quad \forall x \in \overline {B} (0,1) !$.

Considere !$ A = \, [a_{ij}] !$ uma matriz !$ n \times n !$ positiva, isto é, !$ a_{ij} > 0 !$ para todo !$ i !$ e !$ j !$. Considere ainda,

!$ L_+^{n-1} = \lbrace x = (x_1,...,x_n) \in \mathbb{R}^n : x_i \ge 0,1 \le i \le n, \quad \mbox e \quad \sum \limits_{i = 1}^n x_i = 1 \rbrace !$

e a aplicação !$ T : \, L_+^{n-1}, !$ definida por !$ T (x) = [ \lambda (x)]^{-1} Ax !$, em que !$ A_x = A [x] !$ é o produto da matriz !$ A !$ pelo vetor coluna !$ [x]_{nx1} !$ e !$ \lambda (x) > 0 !$ é escolhido de forma que !$ T(x) \in L_+^{n-1} . !$

Considere uma firma caracterizada por uma tecnologia ou, equivalentemente, suponha que exista um conjunto convexo !$ Y \subset \mathbb{R}^n !$, contendo a origem , que esteja associado à produção dessa firma. Pode-se interpretar !$ Y !$ como o conjunto dos pontos !$ y = (y_1, ... y_n) !$ nos quais a firma pode operar; se !$ y_i \le 0 !$, a firma está usando o bem !$ i !$ como insumo para a produção e se !$ y_i \ge 0 !$, a firma está produzindo o bem !$ i !$. Dado um preço

!$ p \in L _+^{n -1} = \lbrace (p_1, ..., p_n) \in \mathbb{R}^n : p_i \ge 0, \quad \quad1 \le i \le n, \quad e \quad \sum \limits_{ i= 1}^n p_i = 1 \rbrace !$

!$ p.y {= \sum \limits_{i = 1}^n p_i y_i} . !$

Suponha que para o preço !$ p !$, o objetivo da firma seja buscar o conjunto dos níveis de atividade !$ \psi (p) !$ que maximizem o seu lucro. Nesse modelo, !$ \psi : L_+^{n-1} \rightarrow P (Y) !$ é uma correspondência determinada pela relação

!$ P (Y) !$ denota o conjunto das partes de !$ Y !$.

Diz-se uma correspondência !$ \varphi !$!$ : X \rightarrow P (Y) !$, em que !$ X \subset \mathbb{R}^m !$ e !$ Y \subset \mathbb{R}^n !$, é semicontínua superiormente (s.c.s) se para !$ x \in X !$e !$ y \in Y !$, e para quaisquer pares de seqüências !$ \lbrace x_k \rbrace !$!$ \subset !$!$ X !$, !$ \lbrace y_k \rbrace !$!$ \subset !$!$ Y !$, tais que !$ y_k \in \varphi (x_k) !$ para todo !$ k \in \mathbb{N}, \quad x_k \rightarrow x \quad e \quad y_k \rightarrow !$!$ y !$, tem-se !$ y \in \varphi (x). !$

Considere o subconjunto do espaço euclidiano

!$ \overline {B} (0,1) = \lbrace x = ( x_1,... x_m) \quad \in \mathbb{R}^m : \ | x \ |^2 = \sum \limits^m_{i = 1} x^2_i \le 1 !$

!$ f : \overline {B} (0,1) \rightarrow \overline {B} (0,1). !$

!$ || f (x) - f (y) || \le || x - y ||^{ \theta}, \forall x, y \in \overline {B} (0,1). !$

Dado !$ n \in \mathbb{N}, !$ considere !$ f_n = \lambda_n f !$, em que !$ \lbrace \lambda_n \rbrace !$ é uma seqüência de números reais do intervalo !$ (0,1) !$ que satisfaz à condição !$ { lim \\ n^{ \rightarrow \infty} } \lambda_n = 1. !$

Considere o subconjunto do espaço euclidiano

!$ \overline {B} (0,1) = \lbrace x = ( x_1,... x_m) \quad \in \mathbb{R}^m : \ | x \ |^2 = \sum \limits^m_{i = 1} x^2_i \le 1 !$

!$ f : \overline {B} (0,1) \rightarrow \overline {B} (0,1). !$

!$ || f (x) - f (y) || \le || x - y ||^{ \theta}, \forall x, y \in \overline {B} (0,1). !$

Dado !$ n \in \mathbb{N}, !$ considere !$ f_n = \lambda_n f !$, em que !$ \lbrace \lambda_n \rbrace !$ é uma seqüência de números reais do intervalo !$ (0,1) !$ que satisfaz à condição !$ { lim \\ n^{ \rightarrow \infty} } \lambda_n = 1. !$

Considere !$ E !$ um espaço vetorial normado com norma !$ || \bullet || !$ e !$ E^* !$ o seu espaço dual, formado pelos funcionais contínuos !$ f : E \rightarrow \mathbb{R} !$, dotado da norma dual:

!$ E !$ tiver dimensão finita, então !$ E !$ terá dimensão finita.

Considere o subconjunto do espaço euclidiano

!$ \overline {B} (0,1) = \lbrace x = ( x_1,... x_m) \quad \in \mathbb{R}^m : \ | x \ |^2 = \sum \limits^m_{i = 1} x^2_i \le 1 !$

!$ f : \overline {B} (0,1) \rightarrow \overline {B} (0,1). !$

!$ || f (x) - f (y) || \le || x - y ||^{ \theta}, \forall x, y \in \overline {B} (0,1). !$

Dado !$ n \in \mathbb{N}, !$ considere !$ f_n = \lambda_n f !$, em que !$ \lbrace \lambda_n \rbrace !$ é uma seqüência de números reais do intervalo !$ (0,1) !$ que satisfaz à condição !$ { lim \\ n^{ \rightarrow \infty} } \lambda_n = 1. !$

Considerando-se !$ A !$ um subconjunto aberto de !$ \mathbb{R}^m !$ e !$ : !$ !$ A \rightarrow !$!$ \mathbb{R}^m !$ derivável, se !$ (x) = 0 !$ para todo !$ x \in A !$, então será constante.

Julgue o item a seguir.

O argumento a favor de regras com feedback assume que a economia pode ser descrita como um conjunto de equações a diferença estocásticas que têm coeficientes que não mudam a cada alteração nas regras com feedback que a autoridade poderia usar.