Observe a seguinte função contínua.

\( f \, (\chi) \, = \, \begin {cases} k. \chi, \,\,\,\, se \, 0 \, \le \, \chi \, < \, 3; \\ 0, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, caso \,\, contrário; \end {cases} \)

Dado f (x) seja uma função de densidade de probabilidade, a esperança de x é dada por

Observe a seguinte função contínua.

\( f \, (\chi) \, = \, \begin {cases} k. \chi, \,\,\,\, se \, 0 \, \le \, \chi \, < \, 3; \\ 0, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, caso \,\, contrário; \end {cases} \)

O valor de k para que f (x) seja função de densidade de probabilidade é

Um casal de namorados decide se encontrar em certo lugar. Se cada um deles chega de forma independente em um intervalo de tempo entre 11h50min e 12h10min, a probabilidade do primeiro que chegar tenha que esperar mais de 5 minutos é

Em uma classe há 6 mulheres e 4 homens. Deseja-se fazer uma comissão, selecionando aleatoriamente 4 pessoas para representar a classe em uma competição dentro do colégio.

A probabilidade de a comissão ter 2 homens e 2 mulheres é

Seja x uma variável aleatória com função de distribuição de probabilidade dada por

\( F (\chi) \, = \, \begin {cases} 0, \,\,\,\,\, se \, \chi \, < \, 0; \\ \dfrac {\chi} {2}, \,\, se \,\, 0 \,\, \le \, \chi \, < \, 1; \\ \dfrac {\chi \, + \, 1} {4}, \,\, se \, 1 \, \le \, \chi \, < \, 3; \\ 1, \,\, se \, \chi \, \ge \, 3;\end {cases} \)

A esperança da variável x é dada por

Baseando-se na Lei Franca dos Grandes Números, utilizando o Princípio da Desigualdade de Chebychev e tendo que X seja uma variável aleatória oriunda de uma distribuição Bernoulli com parâmetro p, qual tamanho mínimo da amostra, considerando X, tem variância máxima e \( P \{\mid \, \hat{p} \, - \, \hat{p} \mid \, \ge \, 0,1 \, \} \le \, 0,1 \) utilizando o princípio referenciado?

“Seja X uma variável aleatória que segue uma distribuição uniforme contínua no intervalo de [0; 6]. Ao retirar uma amostra de tamanho 300 desta distribuição, tem-se que a média amostral \( \bar {X} \) segue uma distribuição _____________ com média igual a _____ com desvio padrão igual a _____.”

Assinale a alternativa que completa correta e sequencialmente a afirmação anterior.

Sejam X₁, X₂, ..., X_n variáveis aleatórias independentes que seguem uma distribuição geométrica de probabilidade. Considere S_n a soma das variáveis aleatórias X₁, X₂, ..., X_n.

Assim sendo, a distribuição da variável aleatória S_n segue a distribuição

X, Y e Z são variáveis aleatórias com distribuição conjunta cuja matriz de covariâncias é dada a seguir.

Marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas em relação à situação problema.

( ) A relação mais forte entre as variáveis de duas a duas medida através do coeficiente de correlação de Pearson está entre as variáveis X e Y.

( ) A relação mais fraca entre as variáveis de duas a duas medida através do coeficiente de correlação de Pearson está entre as variáveis Y e Z.

( ) O coeficiente de correlação de Pearson entre duas vezes a variável X e -2 vezes a variável Y é -1 vez o coeficiente de correlação de Pearson entre as variáveis X e Y.

A sequência está correta em

X, Y e Z são variáveis aleatórias com distribuição conjunta cuja matriz de covariâncias é dada a seguir.

Com base nos dados, a variância da soma das variáveis aleatória X, Y, Z é