A função real f, de variável real, é definida por !$ f(x)=In (x^5+x^3+x) !$. Podemos afirmar que a equação da reta normal ao gráfico da função inversa !$ f^{-1} !$ no ponto !$ \Bigl(In3, f^{-1} (In3)\Bigl) !$ é

Considere !$ \pi !$ o plano que contém o centro da esfera !$ x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 2y-4z+ 13=0 !$ e a reta de equações paramétricas

!$ \begin{cases} x=2 + t \\ y= 1 - t \\ z= 3+2t \end{cases} , t ∈ \mathfrak R !$.

O volume do tetraedro limitado pelo plano !$ \pi !$ e pelos planos coordenados é ,em unidades de volume

A secretária de uma empresa tem a tarefa de enviar 5 cartas de cobrança, com diferentes textos e valores, para 5 diferentes clientes. Uma vez preparadas as c·artas e os respectivos envelopes, a secretária pede à sua auxiliar que coloque as cartas nos envelopes e as remeta pela empresa de Correios. Supondo que a auxiliar não tenha percebido que os textos são diferentes e tenha colocado as cartas nos envelopes de forma casual ou aleatória, a probabilidade das cartas terem sido enviadas corretamente para cada destinatário é

Sejam a e b números reais não nulos tais que a equação !$ x^5 + 4x^4 - x^3 + (2a+b ) x^2+(a-b-3) x + (ab+2)=0 !$ admite duas e somente duas raízes nulas. Se z=a+bi é um número complexo, então o argumento de !$ \large {\overline z} \over 1 + z !$

O resto da divisão do polinômio !$ M (x) = \sum_ {j=i} ^{80} (3j) (x+1) ^{80-j} !$ pelo polinômio !$ N (x)= x+2 !$, !$ x ∈ \Re !$, é igual a

Considere a função f, de variável real x, definida por !$ f(x)= sen^6 x +cos^6x+m (sen^4x+cos^4x) !$, onde !$ m ∈ \mathfrak R !$ é um valor que torna !$ f !$ constante. A equação da circunferência tangente ao eixo y, cujo centro está no ponto de interseção das retas -2mx+2y-5=0 e -x+4y-3=0 é

Considere os conjuntos !$ A = \begin{Bmatrix} x \ ∈ \ \Re \ | {\large x+2 \over 2x-3}| < 4 \end{Bmatrix} !$ e !$ B= { x ∈ \Re /log_9 (x^2 - 5x + 7) > 0 } !$. Pode-se afirmar que !$ A \cap B !$ é

Considere !$ \vec {x}, \vec {y} !$ e !$ \vec z !$ vetores do !$ \Re^3 !$ que satisfazem ao sistema

!$ \begin{cases} \vec {x} + \vec {y} + \vec {z}= (2,-1,-2) \\ \vec {x} + 2 \vec {y} + 3 \vec{z} = (5,-2,-8) \\ \vec {x} + 4 \vec {y} + 9 \vec {z} = (15,-6,-24) \end{cases} !$

O produto !$ \vec x. \vec y \times \vec z !$ vale

O trapézio retângulo ABCDA, representado na figura abaixo, faz uma rotação completa em torno do eixo !$ \ell !$ gerando um sólido S. Sabendo que os segmentos AB e BC e o ângulo !$ θ !$ têm por medida 8 cm, 8 cm e 30°, respectivamente, e que o volume de S vale o dobro do volume de uma esfera de raio R, pode-se concluir que o comprimento de R, em cm, é