Sabendo-se que é 1 + i raiz da equação

\( x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2 = 0 \) , em que i é a unidade imaginária, qual o produto das outras três raízes?

Dadas as afirmativas sobre propriedades da integral indefinida,

I. Se \( c \) é uma constante, \( \int c f(x) \, dx = c \int f(x) \, dx. \)

II.\( \int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx. \)

III. \( \int (f(x) \cdot g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx \cdot \int g(x) \, dx. \)

IV. \( \int (f(x))^n \, dx = \dfrac{(f(x))^{n+1}}{n+1} + K, K \text{ constante}. \)

se associarmos às afirmativas V ou F, conforme elas sejam verdadeiras ou falsas, obteremos, de cima para baixo, a sequência

Considere a equação algébrica no plano complexo dada por: \( (z - 1)^6 - 1 = 0 \). As raízes dessa equação formam os vértices de um polígono regular.

Assinale a alternativa correta que indica a soma de todas as raízes.

Considere \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) um operador linear cujos autovalores são \( \lambda_1=1,\lambda_2=2 \) e \( \lambda_3=3. \) Defina o determinante da matriz que representa a transformação linear resultante de \( T^2+I \), em que I é a matriz identidade.

Um sensor de monitoramento atmosférico deve percorrer a superfície de um domo protetor esférico, cuja equação é \( x^2 + y^2 + z^2 = 4 \). Devido à configuração do suporte eletromecânico, a trajetória do sensor é definida pela intersecção dessa esfera com um plano de equação: \( x + y + z = 1. \)

Considerando a trajetória fechada C resultante, assinale a alternativa correta que indica o vetor, com as coordenadas positivas, binormal à trajetória e o comprimento total do caminho que o sensor percorrerá sobre o domo.

Para a função \( f(x) = x \ln x \) (domínio: \( x>0 \)) , determine o intervalo em que a função é côncava para cima.

\(\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{e^{x^2+y^2} - 1}{x^2 + y^2}\)

Determine o valor do limite.

Num Laboratório, um experimento consiste em um segmento de reta horizontal de comprimento L = 4R que se desloca verticalmente para baixo com velocidade constante v. No instante t = 0, o segmento está com seu ponto central na posição y = R, tangenciando o topo de um sensor circular, de raio R, centrado na origem (0,0), no ponto (0,R). Assinale a alternativa correta que apresenta a expressão para a área varrida A(t) pelo segmento dentro do círculo em função do tempo.

Seja X uma variável aleatória contínua cuja função de densidade de probabilidade segue uma lei de potência do tipo Pareto, definida por: \( f(x) = \{3/x^4, \text{ para } x \geq 1; 0, \text{ para } x < 1\}. \)

Determine a expressão para a Função de Distribuição Acumulada, denotada por \( F(x) = P(X \leq x) \) para o intervalo \( x \geq 1 \) .

A distribuição exponencial com parâmetro \( \lambda \) descreve o tempo entre eventos em um processo de Poisson. Determine a esperança matemática \( E[X] \) utilizando a definição integral: \( E[X] = \int_{0}^{\infty} x \lambda e^{-\lambda x} dx. \)