Sejam A e B conjuntos finitos com cardinalidades |A| = n e |B| = 2, respectivamente, com n ∈ N e n > 2. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número total de funções f: A — B que podem ser definidas é 2ⁿ. Considere S o conjunto de todas as funções f: A — B que são sobrejetoras. A cardinalidade do conjunto S é dada por:

Sejam X e Y conjuntos finitos não vazios com cardinalidade |X| = m e |Y| = n, respectivamente, em que m, n ∈ N*. Considere o conjunto F de todas as funções f: X — Y. Define-se a propriedade P como o subconjunto das funções em F que são injetoras. Para que existam funções injetoras de  X em Y e sua quantidade seja dada pela expressão n! /(n-m)!, é condição necessária e suficiente que:

Considere o conjunto M₃(ℝ) das matrizes quadradas de ordem 3 com entradas reais. Sejam as matrizes A ∈ M₃(ℝ), tal que det(A) = 4,1 A⁻¹ a matriz inversa de A e B = 2 A⁻¹. Se B^T representa a matriz transposta de B, o valor de α = det (B^T) é tal que:

Seja (aⁿ) n e N* uma progressão geométrica estritamente crescente de termos reais positivos, tal que a₂ +a₄ = 30 e a₃ = 12. Se S4 denota a soma dos quatro primeiros termos, então S₄ é:

Considere a matriz real:

\( A = \begin{pmatrix} -1 & 5 & 7 \\ -3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}. \)

Analise as afirmações a seguir e julgue se verdadeiras (V) ou falsas (F):

I. O menor complementar M₂₃ associado ao elemento a₂₃ é um número negativo.

II. O cofator C₂₃ satisfaz a relação \( C_{23} = \det \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot (-1)^{2+3} \)

IIl. O sistema linear homogêneo AX = 0 admite apenas a solução trivial.

IV. Se B é uma matriz real de ordem 3 tal que det(2B) = 160, então det(AB) = 480.

Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:

A Modelagem Matemática, conforme discutida por Bassanezi (2002), apresenta diferentes argumentos que justificam sua inserção no ensino, indo além de uma abordagem meramente instrumental da Matemática. Esses argumentos articulam dimensões epistemológicas, formativas, sociais e cognitivas do processo educativo.
Considere a seguinte situação didática:

Em uma disciplina de Matemática, o professor propõe aos alunos o estudo do consumo de energia elétrica em residências. Os estudantes coletam dados reais, constroem modelos matemáticos, analisam criticamente os resultados e discutem implicações sociais, como consumo consciente e desigualdade no acesso à energia.
A partir dessa situação e dos argumentos de Bassanezi, analise as afirmativas:

l. A atividade contempla o argumento de utilidade, ao permitir que os alunos utilizem a Matemática como ferramenta para resolver problemas reais.
II A proposta evidencia o argumento de competência crítica, ao estimular a análise social e a formação de juízos sobre a realidade.
III. A atividade restringe-se à memorização de conceitos matemáticos, não envolvendo processos investigativos.
IV. A modelagem, nesse contexto, também pode ser compreendida como alternativa epistemológica, ao dialogar com práticas sociais e culturais do uso da Matemática.
V. O argumento intrínseco está presente, pois a atividade contribui para a compreensão da Matemática como um sistema interno de conceitos, desvinculado de aplicações externas.

Assinale a alternativa correta:

Na matemática da Babilônia Antiga, problemas envolvendo áreas eram descritos verbalmente e resolvidos por métodos que hoje correspondem a equações quadráticas. Considere o seguinte registro histórico (adaptado para a notação decimal moderna):
“Somei a área de um quadrado com dois terços da medida do seu lado, e o resultado é 35. Tome 1 como coeficiente da drea.” (Adaptado de AABOE, 2013, p. 24)
Seja x o lado do quadrado. A partir dessa descrição, qual das alternativas representa corretamente a equação quadrática associada ao problema na forma geral ax² + bx + c = 0?

Determine a solução geral da equação diferencial, para x ≠ 0:

\(\dfrac{d^2y}{dx^2} = 20x^3 - \dfrac{1}{x^2}\)

Um reservatório de água tem a forma de um cone circular invertido, com raio da base de 3m e altura de 9m. No reservatório, despeja-se água a uma taxa constante de 3 m³/min. Considere que o cone mantém proporções semelhantes durante o enchimento. Determine a velocidade com que o nível da água está subindo no instante em que a profundidade da água é de 6m.

Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pelas curvas:

y = 1/4 (13 - x²) e y = 1/2 (x+5)