Durante o teste de um software didático destinado ao estudo do ciclo trigonométrico, um professor configurou o programa para marcar todos os valores de x no intervalo [0, 2π) que satisfazem a condição

cos(2x) = sen(x).

Para conferir o resultado apresentado pelo software, o professor calculou a soma de todos os valores de x que satisfazem essa equação no intervalo indicado.

Essa soma é

Em uma atividade de Geometria Analítica, um professor representou no plano cartesiano uma circunferência pela equação

x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0.

O ponto P = (6, 2) pertence à circunferência. Para discutir a relação entre raio e tangente, o professor solicitou a equação da reta tangente à circunferência em P.

Essa reta é representada por

Após uma avaliação diagnóstica, um professor separou 12 resoluções anônimas de um mesmo problema matemático para discutir estratégias de raciocínio em uma formação docente.
Entre essas resoluções:

• 6 apresentam desenvolvimento matemático integralmente correto;
• 4 apresentam desenvolvimento parcialmente correto;
• 2 apresentam erro conceitual fundamental.

Três resoluções serão escolhidas ao acaso, simultaneamente e sem reposição.

A probabilidade de a amostra escolhida não conter nenhuma resolução com erro conceitual fundamental e conter pelo menos uma resolução integralmente correta é

Para uma exposição de Matemática, um professor confeccionará um sólido didático formado por um cilindro circular reto encimado por um cone circular reto, ambos com raio da base igual a 3 cm.
O cilindro possui altura de 10 cm e o cone, altura de 4 cm. A superfície circular que une os dois sólidos fica inteiramente interna e, portanto, não recebe acabamento.

Todo o sólido será preenchido com resina. Além disso, receberão revestimento apenas:

I. a superfície lateral do cilindro;
II. a base inferior do cilindro;
III. a superfície lateral do cone.

O revestimento custa R$ 1,00 por cm² e a resina, R$ 0,50 por cm³.

Adotando π = 3, o custo total dos materiais utilizados em uma unidade do modelo será

Para uma oficina de Geometria no Ensino Médio, um professor construiu um triângulo retângulo T₁ com lados medindo 12 cm, 16 cm e 20 cm. Em seguida, produziu um segundo triângulo T₂, semelhante a T₁, cujo maior lado mede 15 cm.

Para completar o material didático, recebeu de outro professor um triângulo T₃ cujos três lados medem 9 cm, 12 cm e 15 cm.

O professor pretende revestir integralmente uma face de T₂ e uma face de T₃ com papel adesivo. Desprezando perdas no recorte, a área mínima de papel necessária é

Durante uma aula do Ensino Médio, um professor apresentou a seguinte função definida no conjunto

D = {−2, −1, 0, 1, 2}

por meio da tabela:
 

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	3	0	-1	0	3

Um estudante observou que todos os pares da tabela satisfazem a expressão f(x) = x² − 1 e, a partir disso, afirmou que o gráfico da função apresentada é toda a parábola y = x² − 1 e que sua imagem é o intervalo formado por todos os números reais maiores ou iguais a −1.

Ao avaliar a afirmação, o professor deverá esclarecer que

 

Ao preparar uma atividade de aprofundamento para estudantes do Ensino Médio, um professor escolheu três números inteiros positivos que, nessa ordem, formam uma progressão aritmética crescente e cuja soma é 60. Em seguida, manteve o primeiro número inalterado, acrescentou k unidades ao segundo e 18 unidades ao terceiro, de modo que os três novos números, na mesma ordem, passaram a formar uma progressão geométrica crescente.
Sabe-se que k é um número inteiro positivo não superior a 20.

Nessas condições, a soma entre k e a razão da progressão aritmética original é igual a

Para uma mostra de Matemática, três turmas do Ensino Médio produziram, respectivamente, cartazes, modelos geométricos e jogos matemáticos. Ao final da atividade, foram contabilizados 120 trabalhos.
Para fins de organização, cada cartaz recebeu 8 pontos de avaliação técnica, cada modelo geométrico recebeu 12 pontos e cada jogo matemático recebeu 20 pontos. A soma das pontuações atribuídas aos 120 trabalhos foi de 1.520 pontos.
Sabe-se ainda que o número de modelos geométricos superou em 20 unidades o número de jogos matemáticos.

Dessa forma, o número de cartazes produzidos foi de

Em uma aula sobre produtos notáveis, um professor desenhou dois quadrados cujos lados, em centímetros, medem respectivamente (x + 3) e (x − 3), com x > 3.

Em vez de informar separadamente as áreas, o professor estabeleceu que a soma das áreas dos dois quadrados é 306 cm² e perguntou aos estudantes qual seria a diferença entre a área do quadrado maior e a área do quadrado menor.

Utilizando as relações entre produtos notáveis, essa diferença é igual a

Considere que durante uma atividade de revisão no Ensino Médio, um professor propôs uma expressão destinada a avaliar se os estudantes conseguiam articular propriedades das operações com números reais, sem utilizar calculadora:

\(E = \left[ (\sqrt{12} - \sqrt{3})^2 \div \left(\dfrac{3}{2}\right) \right] + \left[ (\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} \div 6 \right] - \left[ \left(\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{4}\right) \div \left(\dfrac{7}{9} - \dfrac{5}{6}\right) \right]\)

Ao preparar o gabarito da atividade, o professor verificou que o valor exato de E é