Considere !$ X !$(!$ t !$) um processo estocástico com média representada por !$ m !$_{!$ X !$}(!$ t !$), para !$ t !$ ∈ !$ \Gamma !$, e, para !$ t !$₁, !$ t !$₂ ∈ !$ \Gamma !$, sejam !$ R !$_{!$ X !$}(!$ t !$₁,!$ t !$₂) e !$ K !$_{!$ X !$}(!$ t !$₁,!$ t !$₂) as funções de autocorrelação e autocovariância, respectivamente. A equação que relaciona as três funções do processo estocástico !$ X !$(!$ t !$) é

A formulação do modelo de séries temporais !$ A !$!$ R !$!$ I !$!$ M !$!$ A !$(1,1,1) é dada por

Quando um vetor !$ X !$ tem distribuição normal !$ p !$-variada, qualquer subconjunto de !$ k !$-variáveis de !$ X !$, !$ k !$ < !$ p !$, terá distribuição

Seja !$ X !$ uma variável aleatória com !$ E !$(!$ X !$) = !$ \mu !$ e !$ c !$ um número real. Considere !$ E !$(!$ X !$ − !$ c !$)² finita e !$ \varepsilon !$ qualquer número positivo. Nestas condições, a desigualdade de Tchebychev é dada por:

Seja !$ X !$ uma variável aleatória com função geradora de momentos dada por !$ M !$(!$ t !$) = !$ e !$!$ x !$!$ p !$ !$ \left(\dfrac{t^2}{2}\right) !$. Qual o valor esperado da variável aleatória !$ X !$?

Seja !$ X !$ uma variável aleatória discreta dada por

Qual o valor da constante !$ a !$?

Em uma sala de aula com 30 discentes da disciplina de introdução à probabilidade, qual é a probabilidade de pelo menos dois discentes fazerem aniversário no mesmo dia?

Seja !$ X !$ uma variável aleatória discreta com função distribuição dada por

!$ P !$(!$ X !$ ≤ !$ x !$) = !$ \left\{\begin{matrix} 0,x<0 \\ 0,2,0\leq x<1 \\ 0,5,1\leq x<2. \\ 0,9,2\leq x<3 \\ 1,x\geq 3 \end{matrix}\right. !$

Qual o valor da !$ P !$(!$ X !$ = 2)?

Sejam !$ X !$₁,!$ X !$₂, … , !$ X !$!$ n !$ uma amostra aleatória de tamanho !$ n !$ da função distribuição acumulada !$ F !$(.) e !$ X !$_{(!$ n !$)} = !$ m !$!$ a !$!$ x !$(!$ X !$₁,!$ X !$₂, … , !$ X !$_{!$ n !$}). A função distribuição acumulada de !$ X !$_{(!$ n !$)} calculada em !$ y !$ é dada por

Sejam !$ X !$ e !$ Y !$ variáveis aleatórias. O valor da !$ E !$(!$ E !$(!$ X !$|!$ Y !$)) é igual a