Seja \( f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) uma função real de uma variável real dada por

\( f(x)=(x-1)^2+(x-2)^2+ \cdots+(x-2023)^2 \).

Qual o valor de x real para que a função f atinja seu valor mínimo?

Em uma olimpíada de Matemática, um time possui 2 homens e 6 mulheres. Para participar de uma determinada prova deverá ser escolhido um grupo de 3 pessoas desse time, de modo que o time escolhido deve ter pelo menos um homem.

De quantas maneiras distintas o time pode ser escolhido?

Dada a sequência de números reais \( (a_1, a_2, a_3, ....., a_n, ....) \) satisfazendo a seguinte igualdade:

\( a_n=a_{n-1}+a_{n-2} \), para \( n \ge 3 \).

Sabe-se ainda que o segundo termo dessa sequência é 1 e que o quinto é 2023. Qual o sexto termo dessa sequência?

Sabe-se que Marcos, Ruan e João são naturais de estados distintos, Maranhão, Piauí e Ceará, mas não se sabe ao certo qual o respectivo estado em que cada um nasceu. Eles são professores de áreas distintas, Matemática, Física e Química, mas também não se sabe, ao certo, quem é o respectivo professor de cada área. Sabemos que as seguintes afirmações são VERDADEIRAS:

A1) O professor de Química é do Ceará.

A2) João é professor de Física.

A3) João não é do Piauí.

A4) Ruan não é professor de Química.

Avalie as seguintes afirmações:

I. Ruan é do Piauí.

II. O professor de Matemática é do Maranhão.

III. Marcos não é professor de Física.

IV. Ruan não é professor de Matemática.

Assinale a alternativa que apresenta APENAS as afirmações VERDADEIRAS.

Em um teatro com 160 alunos são desenvolvidas apenas duas atividades, canto e dança. Sabendo-se que todo aluno desenvolve pelo menos uma das atividades e que o número de alunos que cantam e dançam é igual a 20 e o número de alunos que dançam é o dobro do número de alunos que cantam, assim:

A quantidade de alunos que NÃO dançam ou NÃO cantam é de

A função \( N(t)=a \cdot 3^{-bt} \) descreve o decrescimento de uma determinada população, onde t representa o tempo em anos e \( a \) e \( b \) são números reais positivos.

Supondo que a população inicial (t = 0) é de 243 indivíduos e, após 5 anos, é de 81 indivíduos, podemos afirmar que o valor de \( b \) é

Antônio está em um restaurante. Primeiro ele olhou o cardápio, depois jantou, depois comeu a sobremesa e, por fim, tomou café. Cada uma dessas atividades levou, exceto a primeira, exatamente a metade do tempo que a anterior. Ele começou a olhar o cardápio às 18:00 h e terminou o café às 19:00 h.

Qual o horário que Antônio começou a comer a sobremesa?

Considere as seguintes proposições VERDADEIRAS.

p: José anda de bicicleta se, e somente se, Cláudia não joga bola;

q: ou Cláudia joga bola ou Carlos joga xadrez.

Suponha, ainda, que o valor lógico da proposição “José anda de bicicleta” é VERDADEIRO.

Avalie os seguintes itens:

I. Cláudia joga bola e Carlos joga xadrez.

II. Cláudia joga bola se, e somente se, José não anda de bicicleta.

III. Se Cláudia joga bola, então Carlos joga xadrez.

IV. ou José anda de bicicleta ou Carlos joga xadrez.

Assinale a alternativa que apresenta APENAS as proposições verdadeiras.

Em uma sala de aula 5% da turma são homens. Sabe-se que 95% dos homens falam inglês e 85% das mulheres não falam inglês. Uma pessoa dessa sala é selecionada aleatoriamente e verifica-se que ela fala inglês.

Qual a probabilidade de que essa pessoa seja mulher?

Defina a sequência \( a_n=2^n \) para n inteiro positivo. Seja \( S_n \) a soma dada por

\( S_n=a_1+a_2+...+a_n \)

Supondo que a soma \( S_n \) é igual a 4094 para algum inteiro positivo n, podemos afirmar que o valor de n é