Para que a matriz

!$ M=\begin{bmatrix} 1&0&1\\-1&p&1\\2&1&p-1\end{bmatrix} !$

seja inversível, é necessário que

Considere as funções !$ f(u,v)=u^2 !$ cos !$ (\dfrac{π}{2}v), !$ !$ u(x,y)=2x^2-y^2 !$ e !$ v(x,y)=\dfrac{x}{y} !$. Qual é o valor da derivada parcial !$ \dfrac{∂f}{∂x} !$ no ponto (-1,1)?

O grau da função homogênea

!$ f(x,y)=\dfrac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{y}}-\dfrac{y\sqrt{y}}{x\sqrt[3]{x}} !$

é dado por

O problema de otimização com restrição máximo de

!$ f(x,y)=2xy !$ sujeito a !$ \dfrac{x^2}{4} +y^2=1 !$

tem solução dada por

Em uma pesquisa com 100 mulheres que deram à luz no mesmo mês, ao final observou-se que 10 delas não tiveram acompanhamento pré-natal, enquanto as outras 90 tiveram pelo menos uma consulta. Nessa situação hipotética, com base no quadro apresentado, preenchido com os dados da pesquisa, a média (!$ X !$) e a variância (!$ Var !$) são, respectivamente,

Suponha que uma pesquisa para determinar o número de filhos dependentes tenha sido realizada com 150 famílias residentes em uma comunidade carente e que tenha resultado em uma distribuição conforme o quadro.

Considerando a distribuição de frequência, apresentada no quadro, na classe de maior frequência relativa (fr), a frequência acumulada (fa) em porcentagem é

Considere !$ X !$ uma variável aleatória com distribuição binomial com parâmetros !$ n !$ = 10, !$ p !$ = 2/3. Aqui, utiliza-se a notação !$ P(X=j) !$ para a probabilidade de que !$ X !$ seja igual a !$ j !$. Para saber se !$ P(X=k) !$ é maior ou menor do que !$ P(X=k+1) !$, sugere-se calcular

!$ \dfrac{P(X=k+1)}{P(X=k)} !$

É correto afirmar que !$ P(X=k) !$ terá o maior valor possível quando !$ k !$ for igual a

Dois dados honestos (com as faces numeradas de 1 a 6) são arremessados e são observados os números das faces voltadas para cima. Os lançamentos são independentes. Seja Z o total de pontos obtidos (ou seja, a soma dos números das faces voltadas para cima). Será utilizada a notação !$ P(Z∈L) !$ para indicar a probabilidade de que Z pertença a um conjunto L. Por exemplo:

!$ P(Z=2)=\dfrac{1}{36} !$

pois Z = 2 ocorre apenas quando X = 1 e Y = 1;

!$ P(Z\ge9)=P(Z∈ !$ {9,10,11,12})

indica a probabilidade de que Z assuma o valor nove ou um número maior.

É correto afirmar que

Seja !$ x_1,... ,x_n !$ uma amostra aleatória simples de uma distribuição de Bernoulli com parâmetro !$ p !$. Para testar a hipótese nula !$ H_0;p= !$ 0,5 contra a alternativa !$ H_1 !$: !$ p= !$ 0,25, utilizando a razão de verossimilhança !$ y^{(n)} !$, obter-se-á

Seja !$ X !$ uma variável aleatória com distribuição binomial !$ B !$(10, !$ p) !$, onde !$ p !$ !$ ∈ !$ (0,1). Suponha que se tenha somente uma observação !$ x !$ = 2. Assumindo que a distribuição a priori para p seja uniforme no intervalo (0, 1), os estimadores bayesianos para a média (!$ \hat{p}\overset{B}{m}édia !$ ) e para a moda (!$ \hat{p}\overset{B}{m}oda !$ ) da distribuição a posteriori, serão