Uma esfera maciça de raio \( R \), feita de material isolante e imersa no vácuo, é submetida a um campo magnético externo uniforme e variável no tempo, dado por

\( B \)⃗(\( t \)) = \( B \)0(1 + \( \alpha \)\( t \)) \( \hat{z} \)

onde \( B \)0 e \( \alpha \) são constantes positivas. O campo \( B \)⃗ é paralelo ao eixo \( z \), que passa pelo centro da esfera, e varia uniformemente com o tempo. Devido à simetria azimutal imposta por \( B \)⃗ ∥\( \hat{z} \), o campo elétrico induzido \( E \)⃗ possui direção azimutal (\(\hat{ \phi }\)) e módulo constante sobre qualquer circunferência de raio \( \rho \) centrada no eixo \( z \). Restrinja a análise ao plano equatorial da esfera (\( \theta \) = \( \pi \)/2), em que a coordenada radial cilíndrica \( \rho \) coincide com a distância \( r \) ao centro da esfera, utilize a Lei de Faraday-Lenz na forma integral

\( \oint_{C} \vec{E} \cdot d\vec{\ell} = -\dfrac{d\Phi_{B}}{dt} \)

e determine a expressão do módulo do campo elétrico induzido para pontos internos à esfera no plano equatorial (\( r \) < \( R \)).

Um cilindro condutor maciço, infinitamente longo, de raio \( R \) = 5,0 cm, é percorrido por uma corrente elétrica paralela ao seu eixo de simetria. A densidade de corrente, que depende apenas da distância radial \( r \) ao eixo, é dada por

\( J(r) = \dfrac{b}{r^{2/3}} \text{ com } b = 1,0 \times 10^3 \dfrac{A}{m^{5/3}} \)

onde \( b \) é uma constante positiva. Com isso, determine o módulo do campo magnético \( B \)⃗ em um ponto situado a uma distância \( r \) = 8,0 mm do eixo do cilindro. Utilize \( \mu \)0 = 4\( \pi \) × 10⁻⁷ T ⋅ m/A.

Um circuito é composto por uma fonte de força eletromotriz ideal ℰ, um resistor de resistência \( R \) e um capacitor de capacitância \( C \), inicialmente descarregado. No instante \( t \) = 0, a chave do circuito é fechada, iniciando o processo de carga. De acordo com a Regra das Malhas de Kirchhoff, analise as assertivas abaixo:

I. A equação diferencial que governa a carga \( q \)(\( t \)) no capacitor é expressa por \( R\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{q}{c} \) = ℰ. A solução dessa equação diferencial linear de primeira ordem, que satisfaz a condição inicial \( q \)(0) = 0, resulta em uma corrente instantânea \( i \)(\( t \)) = \( \dfrac{ℰ}{R} \) \( e \)^{−\( t \)/\( R \)\( C \)}.

II. A energia total fornecida pela fonte ℰ durante todo o processo de carga (de \( t \) = 0 até \( t \) → ∞) é dada pela integral \( \int_{0}^{\infty} \) ℰ ⋅ \( i \)(\( t \))\( d \)\( t \), resultando no valor acumulado de \( C \)ℰ² .

III. Metade da energia total fornecida pela fonte é armazenada no campo elétrico do capacitor como energia potencial eletrostática \( \left((U=\dfrac{1}{2}Cℰ^2\right) \) , enquanto a outra metade é obrigatoriamente dissipada como energia térmica no resistor pelo efeito Joule, independentemente do valor da resistência \( R \).

Quais estão corretas?

O fenômeno da condução elétrica em metais é frequentemente descrito pelo Modelo de Drude, que trata os elétrons de valência como um “gás” de partículas sujeitas a colisões com os íons da rede cristalina. Sendo assim, considere um fio de cobre de 2,0 mm de raio transportando uma corrente contínua de 1,0 A e assinale a alternativa que descreve corretamente a física dos portadores de carga e a dependência térmica da resistência.

A eletrostática de sistemas condutores e dielétricos é governada pela distribuição de energia e pela configuração dos potenciais. Sobre o tema, relacione a Coluna 1 (expressão ou grandeza física) à respectiva descrição fenomenológica ou configuração na Coluna 2.

Coluna 1

1.\( \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{Q}{R}, \text{ para } r \leq R \)

2.\( \dfrac{1}{2} \epsilon_0 E^2 \)

3.\( \dfrac{4\pi\epsilon_0 \kappa ab}{b - a} \)

4. \( -\int_{i}^{f} \) \( E \)⃗⋅ \( d\overrightarrow{s} \)

Coluna 2

( ) Diferença de potencial elétrico entre dois pontos.

( ) Capacitância de um capacitor formado por duas cascas esféricas concêntricas preenchidas com um material dielétrico de constante.

( ) Potencial elétrico no interior e na superfície de uma casca esférica condutora carregada.

( ) Densidade de energia eletrostática associada ao campo elétrico no vácuo.

A ordem correta de preenchimento dos parênteses, de cima para baixo, é:

A eletrostática fundamenta-se na descrição das forças entre cargas em repouso e na introdução do conceito de campo como mediador de interações. Sobre o tema, analise as assertivas a seguir e assinale V, se verdadeiras, ou F, se falsas.

( ) Experimentos históricos e modernos, como os de Plimpton e Lawton, confirmaram a precisão do expoente inverso do quadrado na Lei de Coulomb (1/\( r \)²), estabelecendo que qualquer desvio \( \delta \) na forma 1/\( r \)^{2+\( \delta \)} deve ser inferior a 2 × 10⁻⁹, o que sustenta a validade da Lei de Gauss.

( ) As linhas de força do campo elétrico são construções geométricas em que o vetor \( E \)⃗ é tangente em cada ponto; uma propriedade fundamental dessas linhas é que elas nunca se cruzam, pois o campo elétrico em qualquer ponto do espaço deve ser unicamente definido em módulo, direção e sentido.

( ) O Teorema de Earnshaw demonstra que uma carga puntiforme pode ser mantida em equilíbrio estável em uma região de vácuo através de uma configuração puramente eletrostática de outras cargas fixas, desde que a simetria do sistema anule o divergente do campo no ponto de equilíbrio.

( ) Para distâncias muito grandes em relação à separação das cargas (\( r \) ≫ \( d \)), o módulo do campo elétrico produzido por um dipolo decai com o inverso do cubo da distância (1/\( r \)³ ), um decréscimo mais rápido do que o de uma carga puntiforme isolada (1/\( r \)²).

A ordem correta de preenchimento dos parênteses, de cima para baixo, é:

Em um laboratório de metrologia óptica, um cristal dielétrico desconhecido é submetido a um teste de transmitância. Observa-se que, para uma onda eletromagnética plana incidindo perpendicularmente a partir do vácuo (índice de refração \( n \)_ᵢ = 1,0), o coeficiente de transmissão de amplitude — definido como a razão entre as amplitudes do campo elétrico transmitido e incidente — é de exatamente \( t \) = 0,80. Em uma etapa subsequente, o índice de refração n do cristal é utilizado para configurar um sistema de imageamento. Um objeto real é posicionado sobre o eixo óptico de um espelho esférico convexo de raio de curvatura R (adota-se R > 0, pois o centro de curvatura encontra-se do lado oposto à incidência da luz), a uma distância \( s \)ₒ do seu vértice. Para esse espelho, com a convenção de sinais descrita, valem as seguintes relações da óptica paraxial:

1. Equação de conjugação do espelho: 1/\( s \)ₒ + 1/\( s \)ᵢ = −2/\( R \).
2. Ampliação lateral: Mₜ = −sᵢ / sₒ.

Com base nessas informações, determine a distância \( s \)ₒ, em termos de R, para que a ampliação lateral produzida pelo espelho seja numericamente igual ao inverso do índice de refração do cristal, ou seja, \( M \)ₜ = 1/\( n \).

Uma corda ideal, homogênea, de densidade linear \( \mu \) e submetida a uma tensão constante \( T \) é percorrida por uma onda harmônica progressiva descrita pela função \( y \)(\( x \),\( t \)) = \( A \) \( c \)\( o \)\( s \)(\( k \)\( x \) − \( \omega \)\( t \) + \( \delta \)). De acordo com o formalismo da mecânica ondulatória clássica, a potência instantânea \( P \)(\( x \),\( t \)) transmitida através de um ponto \( x \) da corda e a densidade de energia total \( \dfrac{dE}{dx} \) associada ao elemento de comprimento \( d \)\( x \) guardam relações fundamentais com os parâmetros da onda. Considere \( v \) = √\( T \)/\( \mu \) como a velocidade de fase da onda. Assinale a alternativa que expressa corretamente a relação entre a velocidade transversal máxima das partículas da corda (\( v \)_{\( y \),\( m \)\( a \)\( x \)}) e a velocidade de fase (\( v \)), bem como o comportamento das densidades de energia cinética (\( d \)\( T \)/\( d \)\( x \)) e potencial (\( d \)\( U \)/\( d \)\( x \)).

Os fenômenos de interferência e a variação aparente de frequências (Efeito Doppler) são pilares da física ondulatória contemporânea. Sobre o tema, preencha as lacunas que completam as frases abaixo com os respectivos valores numéricos relativos às descrições das situações físicas apresentadas:

I. O ângulo de abertura do cone de Mach (\( \alpha \)) para uma aeronave que se desloca com o dobro da velocidade do som no ar (\( V \) = 2\( v \)) é de ______.

II. A razão entre a frequência detectada (\( f \)) e a frequência própria (\( f \)₀) para uma fonte que se aproxima de um observador com velocidade \( V \) = \( v \) \( s \)\( e \)\( n \)(30°), sendo v a velocidade de propagação da onda, é de ______.

III. A diferença de fase (\( \phi \)), em radianos, necessária para que duas ondas harmônicas coerentes, de mesma frequência e amplitude, produzam um ponto de intensidade nula é de _____.

IV. A razão entre a velocidade de grupo (\( v \)_{\( g \)}) e a velocidade de fase (\( v \)) para ondas transversais que se propagam em uma corda homogênea e ideal (meio não dispersivo) é de _____.

Assinale a alternativa que preenche, correta e respectivamente, as lacunas dos trechos acima.

Uma usina termoelétrica moderna opera com vapor de água superaquecido a uma temperatura de 500 °C (fonte quente) e é resfriada por um rio cujas águas estão a 20 °C (fonte fria). Em virtude de perdas inerentes ao projeto (atrito, condução de calor e irreversibilidades no ciclo), a eficiência real da usina é de 40%. Considerando os princípios da Termodinâmica e o conceito de entropia, analise a operação dessa usina para cada 1,0 kJ de calor absorvido da fonte quente e assinale a alternativa que descreve corretamente a situação.