Na obra intitulada Matemática, Mídias Digitais e Didática, os autores do capítulo 3 discutem parábolas, elipses e hipérboles e apresentam um quadro de propriedades dessas secções cônicas, sendo a propriedade denominada “foco-diretriz” assim apresentada: 

d(P,F) / D(P,r) = k

(Adaptado)
Sabendo-se que d(M,N) representa a distância entre os elementos geométricos M e N, P representa um ponto da curva C, r representa a reta diretriz da curva C, o ponto F, não pertencente a r, representa um foco dessa curva, e k representa um número real, é verdade que, se

Em determinado material didático, há as representações de um triângulo equilátero de lados medindo m unidades e de um quadrado de diagonais medindo n unidades. Para determinada aula, um professor quer utilizar essas representações, mas precisa de um exemplo em que área da região limitada pelo triângulo seja equivalente a área da região limitada pelo quadrado.
Nesse caso, ele precisa admitir

Considere as seguintes afirmações a respeito da função \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), definida como y = f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c reais, e a ≠ 0:

• \(p: (\forall x \in \mathbb{R}); \begin{cases} a > 0 \rightarrow f(x) \ge c - \dfrac{b^2}{4 \cdot a} \end{cases}\)
• \(q: (\forall x \in \mathbb{R}); \begin{cases} a < 0 \rightarrow f(x) \le c - \dfrac{b^2}{4 \cdot a} \end{cases}\)
• \(r: (\forall x \in \mathbb{R}); (b^2 - 4 \cdot a \cdot c < 0 \rightarrow f(x) > 0 \lor f(x) < 0)\)

Com base nas proposições apresentadas, tem valor lógico verdadeiro a proposição composta

No livro A Arte de Resolver problemas, Polya aborda, dentre outros assuntos, a técnica da cadeia de problemas auxiliares equivalentes, que pode ser utilizada quando temos que resolver um problema A e não sabemos como, mas podemos identificar um problema B, equivalente ao problema A, depois, um problema C, equivalente ao problema B, e assim por diante, até chegarmos em um último problema que sabemos solucionar, equivalente ao anterior, na qual a solução é a solução do problema A.

Nesse sentido, analise a seguinte cadeia de problemas, na resolução do problema A, que é a resolução da equação x⁴ – 13x² + 36 = 0:

Problema B	\((2x^2)^2 - 2 \cdot 2x^2 \cdot 13 + 169 = 25\)
Problema C	\((2x^2 - 13)^2 = 25\)
Problema D	\(2x^2 - 13 = \pm 5\)
Problema E e sua solução	\(2x^2 = \pm 5 + 13 \Rightarrow x = \pm \sqrt{\cfrac{13 \pm 5}{2}}\)

Analisando-se a cadeia apresentada, pode-se identificar que a solução do problema E satisfaz a solução do problema A, e

O trabalho com logaritmo é proposto no Ensino Médio. Sendo assim, conhecer propriedades de logaritmo e algumas relações com outros conteúdos é essencial para que um professor possa desenvolver o seu trabalho em sala de aula.

Portanto, considere log_c b = 3 e a função f: |N → |R , dada por y = f(x) = (log_b c⁶ )^x .
Neste caso, a sequência f(0), f(1), f(2), ..., f(x), é uma progressão geométrica de razão

Acompanhe os passos de procedimentos geométricos aplicados a partir de um segmento de reta de extremidades A e B:
1º passo – construção de um segmento de reta de extremidades B e C, não colinear ao segmento AB, de medida igual a 6 cm, dividido de 2 cm em 2 cm pelos pontos D e E;
2º passo – construção do segmento de reta de extremidades A e C;
3º passo – construção de uma reta, paralela ao segmento AC, contendo o ponto E e intersectando o segmento AB no ponto F;
4º passo – construção de uma reta, paralela ao segmento AC, contendo o ponto D e intersectando o segmento AB no ponto G.

Com base nos procedimentos aplicados, e considerando-se x, y, z e t as respectivas medidas dos segmentos de retas com extremidades nos pontos B e E, B e A, B e F, e B e C, é correto afirmar que

Considere as sentenças a seguir, que representam algebricamente retas de um plano em que foi fixado um sistema de coordenadas cartesianas ortogonal usual, sendo a, b, c, d, e e f números reais distintos e não nulos:

p: ax + by + c = 0 q: ax + by + f = 0 r: dx + ey + f = 0 s: ex + fy = 0

Considere, também, a seguinte figura que representa duas retas concorrentes:




(Figura não necessariamente proporcional) (Arquivo pessoal; imagem usada com autorização)

As sentenças que podem ser associadas às retas g e h, representadas na figura apresentada, são:

Sobre operações no conjunto dos números reais, é correto afirmar que

Assim como existe a ordem de precedência nas operações em expressões numéricas e algébricas, existe a ordem de precedência na interpretação de uma proposição lógica composta.
Dessa forma, a correta interpretação da proposição p ∨ q → r ↔ s ∧ t é:

Considere as seguintes sentenças:
I. √3 < 5 II. x² + 5x = 0 III. existe x tal que x + 5 = 0. IV. para todo x real, tem-se que x²+ 1 = 0.
É verdade que as sentenças apresentadas em