Um analista de confiabilidade está interessado em estudar o tempo médio entre falhas consecutivas em equipamentos hospitalares de alta complexidade.

Para modelar esse tipo de variável aleatória, a distribuição mais apropriada é: 

Um centro de monitoramento registra o número de panes em servidores de dados por hora. As ocorrências são raras, independentes e acontecem em intervalos fixos de tempo, caracterizando um processo de Poisson. Em relação à modelagem e propriedades da distribuição de Poisson e suas relações com outras distribuições, julgue os itens a seguir:

I. Se o número médio de panes por hora é λ = 3, a probabilidade de exatamente 5 panes em uma hora é dada por P(X = 5) = \(\dfrac{e^{-3}3^5}{5!}.\). Além disso, para um processo de Poisson, a média e a variância são iguais.

II. A distribuição de Poisson pode ser obtida como limite da distribuição Binomial quando n → ∞, p → 0 e np = λ (constante). Essa aproximação é tanto melhor quanto maior for n e menor for p.

III. Em um processo de Poisson homogêneo, o tempo entre ocorrências consecutivas segue uma distribuição Exponencial com média 1/λ, e a soma de k tempos entre ocorrências independentes segue uma distribuição Gama (Erlang) com parâmetros k e λ.

IV. Se o número de panes por hora segue Poisson (λ), então a transformação Y = √X (transformação estabilizadora de variância) tem variância aproximadamente constante igual a 1/4, independentemente de λ, para λ grande.

V. O estimador de máxima verossimilhança de n para uma amostra de λ horas independentes é a média amostral \(\bar{x}\), e esse estimador é não viesado, consistente e eficiente, atingindo a cota inferior de Cramér-Rao para grandes amostras.

Assinale a alternativa com a sequência CORRETA (V/F):

Uma equipe de auditoria realiza 10 inspeções independentes em contratos administrativos. A probabilidade de encontrar irregularidade em cada inspeção é de 0,2. Seja X o número de contratos irregulares encontrados. Sabe-se que X ~ Binomial(n = 10, p = 0,2). Em relação às propriedades dessa distribuição e conceitos associados, julgue os itens a seguir:

I. O valor esperado de X é E [X] = np = 2, e a variância é Var(X) = np(1 − p) = 1,6.

II. A função geradora de momentos (MGF) de X é M_X(t) = (1 − p + pe^t )ⁿ , e a partir dela é possível obter todos os momentos centrais e não centrais da distribuição.

III. Para n = 10 e p = 0,2, a distribuição Binomial pode ser aproximada por uma distribuição Normal com média 2 e variância 1,6, desde que se aplique correção de continuidade, e essa aproximação será excelente porque n é grande.

IV. O estimador de máxima verossimilhança (EMV) de p para uma amostra de uma única observação X dessa Binomial(10, p) é p = X/10, e esse estimador é não viesado.

V. A probabilidade de encontrar exatamente 2 contratos irregulares é dada por P(X = 2) = ( 10 2 )(0,2)² (0,8)⁸.

Se o número de inspeções aumentasse para 100, mantendo a probabilidade de irregularidade, a distribuição tenderia a uma Poisson com parâmetro λ = 20 (desde que n → ∞ e p → 0 com np constante).

Assinale a alternativa com a sequência CORRETA (V/F):

Durante um levantamento estatístico, um pesquisador modelou uma variável aleatória associada ao resultado de inspeções em equipamentos públicos, classificando cada inspeção apenas como “aprovada” (sucesso) ou “reprovada” (fracasso). Essa variável é tipicamente modelada por uma distribuição de Bernoulli. Em relação às propriedades da distribuição de Bernoulli e suas relações com outras distribuições, julgue os itens a seguir:

I. Se X ~ Bernoulli(p), então a função de probabilidade é dada por P(X = x) = p^x (1 − p)^1−x para x ∈ {0,1}, e a média é igual à variância.

II. A soma de n variáveis independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com distribuição Bernoulli(p) resulta em uma distribuição Binomial(n, p), cuja variância é np(1 − p).

III. O coeficiente de assimetria (skewness) de uma Bernoulli(p) é dado por \(\dfrac{1-2p}{\sqrt{p(1-p)}}\), que se anula quando p = 0,5.

IV. A distribuição de Bernoulli pode ser vista como um caso particular da distribuição Binomial com n = 1, mas também como um caso especial da distribuição Categórica com duas categorias.

V. Se X ~ Bernoulli(p), então o estimador de máxima verossimilhança (EMV) de p é a média amostral, e esse estimador é não viesado, consistente e eficiente para grandes amostras.

Assinale a alternativa com a sequência CORRETA (V/F): 

Um analista de dados utiliza o Excel em nível avançado para análises estatísticas. Em relação a recursos e limitações do Excel para análises mais complexas, julgue os itens a seguir:

I. As fórmulas matriciais (array formulas), ativadas com Ctrl+Shift+Enter em versões antigas ou dinâmicas nas versões recentes do Microsoft 365, permitem realizar cálculos que retornam múltiplos valores ou que processam matrizes sem a necessidade de células auxiliares, como =SOMA(SE(A1:A10>5;A1:A10)) para somar valores maiores que 5.

II. O Power Pivot é um suplemento do Excel que utiliza o mecanismo de banco de dados colunar xVelocity, permitindo trabalhar com grandes volumes de dados (milhões de linhas) e criar relacionamentos entre tabelas, além de usar a linguagem DAX (Data Analysis Expressions) para medidas complexas, incluindo funções de inteligência de tempo como TOTALYTD.

III. A linguagem DAX possui funções estatísticas avançadas equivalentes às do R, como regressão logística, PCA e árvores de decisão, executáveis diretamente dentro de uma medida no Power Pivot.

IV. O Excel possui um limite de 1.048.576 linhas por planilha. Para conjuntos de dados maiores que esse limite, o Power Pivot pode importar e analisar dados além dessa capacidade, pois armazena os dados de forma comprimida na memória, independentemente do limite de linhas da planilha.

V. Os gráficos dinâmicos (PivotCharts) são totalmente interativos e permitem que o usuário altere campos de filtro, linhas e colunas dinamicamente, sendo uma ferramenta útil para dashboards. No entanto, eles herdam as limitações das tabelas dinâmicas, como a incapacidade de criar certos tipos de gráficos (ex.: dispersão com bolhas ou gráficos de superfície) diretamente a partir de uma tabela dinâmica.

Assinale a alternativa com a sequência CORRETA (V/F):

Em um estudo sobre falhas operacionais em sistemas públicos, definem-se os eventos:

A: falha elétrica

B: falha no sistema de comunicação

Sabe-se que P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 e que A e B são independentes.

Em relação a conceitos de probabilidade, independência e suas implicações, julgue os itens a seguir:

I. A probabilidade de ocorrência simultânea das duas falhas é P (A ∩ B) = 0,2, pois para eventos independentes a interseção é o produto das probabilidades marginais.

II. Se A e B são independentes, então também são independentes os eventos complementares A^c e  B^c, e além disso P (A^C ∩ B^C ) = 0,3

III. A independência de dois eventos implica necessariamente que eles sejam disjuntos (mutuamente exclusivos), a menos que um deles tenha probabilidade zero.

IV. Se um terceiro evento C for independente de A e também independente de B, então necessariamente C é independente da interseção A ∩ B. Essa propriedade é válida para qualquer espaço de probabilidade.

V. A definição formal de independência entre A e B é P (A ∩ B) = P (A) P (B), mas uma condição equivalente, quando P (B) > 0, é P (A | B) = P (A).

Assinale a alternativa com a sequência CORRETA (V/F):

Em uma análise de desempenho institucional, um estatístico precisa comparar a dispersão de indicadores de produtividade entre departamentos com médias e escalas distintas. Ele utiliza inicialmente o desvio padrão amostral. Em relação às propriedades, limitações e relações do desvio padrão com outras medidas estatísticas, julgue os itens a seguir:

I. Se os dados de um departamento seguem uma distribuição assimétrica à direita, o desvio padrão é necessariamente maior do que o desvio médio absoluto (MAD), devido à maior ponderação dos desvios quadráticos.

II. O coeficiente de variação (CV) é uma medida adimensional que permite comparar dispersão entre variáveis com diferentes unidades, mas sua utilização é inadequada quando a média se aproxima de zero, independentemente da natureza dos dados.

III. Para uma amostra aleatória simples de uma população com variância finita, o desvio padrão amostral (com correção de Bessel) é um estimador não viesado do desvio padrão populacional.

IV. Se todos os valores de um indicador forem transformados por Y = α + bX, com b > 0, o desvio padrão de Y é igual a b vezes o desvio padrão de X, independentemente do valor de α.

V. Em qualquer distribuição com média finita e variância finita, a desigualdade de Chebyshev garante que a proporção de observações dentro de k desvios padrão da média é de pelo menos 1 − 1/k² , sendo essa uma cota superior para qualquer distribuição.

Assinale a alternativa com a sequência CORRETA (V/F):

Um pesquisador da gestão pública analisou a distribuição salarial de servidores de um órgão federal: média = 50 mil, mediana = 45 mil, moda = 40 mil. Em relação ao comportamento dessa distribuição, julgue os itens a seguir:

I. A relação média > mediana > moda indica assimetria positiva (à direita), ou seja, a cauda da distribuição se alonga para valores mais altos, puxando a média para cima.

II. Em uma distribuição assimétrica positiva, a média é maior que a mediana, que por sua vez é maior que a moda. O fato de haver poucos salários muito elevados influencia a média mais do que a mediana.

III. Se a distribuição fosse simétrica, esperaríamos média = mediana = moda (aproximadamente). No caso apresentado, a diferença indica assimetria à direita.

IV. A curtose da distribuição pode ser avaliada pela comparação entre média e mediana; como a média é maior que a mediana, a distribuição é leptocúrtica (caudas pesadas).

V. Em uma distribuição com assimetria positiva, a mediana é geralmente a medida de tendência central mais robusta para representar o salário típico, pois não é puxada pelos valores extremos.

Assinale a alternativa com a sequência CORRETA (V/F):

Em um estudo sobre a produtividade científica de uma universidade, um pesquisador classificou os projetos de pesquisa de uma grande faculdade em duas categorias: aqueles que resultaram em publicação em periódico de alto impacto e aqueles que não atingiram esse patamar. Sabe-se que 25% dos projetos da faculdade são da área de Ciências Biológicas. Entre os projetos da área de Ciências Biológicas, 60% resultaram em publicação de alto impacto. Entre os projetos das demais áreas (Ciências Exatas, Humanas etc.), a taxa de sucesso (publicação de alto impacto) é de 30%. Um projeto de pesquisa é selecionado aleatoriamente do banco de dados da universidade e verifica-se que ele resultou em uma publicação de alto impacto.

A probabilidade de que esse projeto seja da área de Ciências Biológicas é, aproximadamente: