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- Estatística InferencialTeste de Hipóteses
- RegressãoRegressão Linear SimplesAnálise de Resíduos em RLS
Um modelo de regressão linear simples é especificado como \( Y_i= \alpha + X_i \cdot \beta +ε_i \) em que \( E[ε_i]=0 \) e \( Var[ε_i]=σ^2 \). Para estimadores \( \alpha' \) e \( \beta ' \), o valor predito para observação \( i(Y'_i) \) com característica \( X_i \) é dado por \( Y'_i=\alpha'+ X_i \cdot \beta' \). O resíduo para observação \( i(ε'_i) \) é definido como \( ε'_i =Y_i - Y'_i \). De uma amostra
aleatória de tamanho 49, coletada da população desse modelo de regressão linear simples, obteve-se:
- \( Σ_i(Y_i-Y'_i)^2=17.173\) e
- \( Σ_i(Y_i'-m_y)^2=36.464 \),
em que \( m_y \) é a média amostral de Y.
Em relação às informações precedentes, julgue o item a seguir, considerando que o percentil 95% de uma distribuição F, com 1 grau de liberdade no numerador e 47 graus de liberdade no denominador, é igual a 4,05, e que o percentil 95% de uma distribuição qui-quadrado com 47 graus de liberdade é 64.
Se a correlação amostral entre os resíduos, \( ε'_i \), e \( X_i \) é igual a zero, isso indica que o modelo está bem especificado.
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- Estatística InferencialEstimadoresEstimadores de Máxima Verossimilhança
- RegressãoRegressão Linear Simples
Um modelo de regressão linear simples é especificado como \( Y_i= \alpha + X_i \cdot \beta +ε_i \) em que \( E[ε_i]=0 \) e \( Var[ε_i]=σ^2 \). Para estimadores \( \alpha' \) e \( \beta ' \), o valor predito para observação \( i(Y'_i) \) com característica \( X_i \) é dado por \( Y'_i=\alpha'+ X_i \cdot \beta' \). O resíduo para observação \( i(ε'_i) \) é definido como \( ε'_i =Y_i - Y'_i \). De uma amostra
aleatória de tamanho 49, coletada da população desse modelo de regressão linear simples, obteve-se:
- \( Σ_i(Y_i-Y'_i)^2=17.173\) e
- \( Σ_i(Y_i'-m_y)^2=36.464 \),
em que \( m_y \) é a média amostral de Y.
Em relação às informações precedentes, julgue o item a seguir, considerando que o percentil 95% de uma distribuição F, com 1 grau de liberdade no numerador e 47 graus de liberdade no denominador, é igual a 4,05, e que o percentil 95% de uma distribuição qui-quadrado com 47 graus de liberdade é 64.
Se \( ε \) segue uma distribuição normal, o estimador de máxima verossimilhança e o estimador de mínimos quadrados geram as mesmas estimativas para \( \alpha \) e \( \beta \).
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- Distribuições de ProbabilidadeDistribuições ContínuasQui-Quadrado
- Distribuições de ProbabilidadeDistribuições ContínuasSnedecor
- Estatística InferencialTeste de Hipóteses
Um modelo de regressão linear simples é especificado como \( Y_i= \alpha + X_i \cdot \beta +ε_i \) em que \( E[ε_i]=0 \) e \( Var[ε_i]=σ^2 \). Para estimadores \( \alpha' \) e \( \beta ' \), o valor predito para observação \( i(Y'_i) \) com característica \( X_i \) é dado por \( Y'_i=\alpha'+ X_i \cdot \beta' \). O resíduo para observação \( i(ε'_i) \) é definido como \( ε'_i =Y_i - Y'_i \). De uma amostra
aleatória de tamanho 49, coletada da população desse modelo de regressão linear simples, obteve-se:
- \( Σ_i(Y_i-Y'_i)^2=17.173\) e
- \( Σ_i(Y_i'-m_y)^2=36.464 \),
em que \( m_y \) é a média amostral de Y.
Em relação às informações precedentes, julgue o item a seguir, considerando que o percentil 95% de uma distribuição F, com 1 grau de liberdade no numerador e 47 graus de liberdade no denominador, é igual a 4,05, e que o percentil 95% de uma distribuição qui-quadrado com 47 graus de liberdade é 64.
Se \( ε \) segue uma distribuição normal, o teste de hipótese da hipótese nula que \( σ^2=270 \) contra a alternativa de \( σ^2 > 270 \) leva à rejeição da hipótese nula ao nível de significância de 5%.
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- Distribuições de ProbabilidadeDistribuições ContínuasQui-Quadrado
- Estatística InferencialTeste de Hipóteses
Um modelo de regressão linear simples é especificado como \( Y_i= \alpha + X_i \cdot \beta +ε_i \) em que \( E[ε_i]=0 \) e \( Var[ε_i]=σ^2 \). Para estimadores \( \alpha' \) e \( \beta ' \), o valor predito para observação \( i(Y'_i) \) com característica \( X_i \) é dado por \( Y'_i=\alpha'+ X_i \cdot \beta' \). O resíduo para observação \( i(ε'_i) \) é definido como \( ε'_i =Y_i - Y'_i \). De uma amostra
aleatória de tamanho 49, coletada da população desse modelo de regressão linear simples, obteve-se:
- \( Σ_i(Y_i-Y'_i)^2=17.173\) e
- \( Σ_i(Y_i'-m_y)^2=36.464 \),
em que \( m_y \) é a média amostral de Y.
Em relação às informações precedentes, julgue o item a seguir, considerando que o percentil 95% de uma distribuição F, com 1 grau de liberdade no numerador e 47 graus de liberdade no denominador, é igual a 4,05, e que o percentil 95% de uma distribuição qui-quadrado com 47 graus de liberdade é 64.
Se \( ε \) segue uma distribuição normal, o teste de hipótese da hipótese nula que \( \beta=0 \) contra a alternativa de \( \beta ≠ 0 \) leva à rejeição da hipótese nula ao nível de significância de 5%.
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Uma população de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segue a distribuição de Bernoulli \( X_1 \sim \) Ber\( (θ) \), sendo \( P(X_i=1)=θ \) e \( P(X_i=0)=1-θ \). Uma amostra de tamanho n será retirada dessa população. A distribuição amostral da estatística suficiente, S, para \( θ \) é a binomial \( (n, θ) \), e S é a soma de X na amostra. O estimador de máxima verossimilhança para \( θ \) é \( θ_{MV}={\large{S \over n}} \). A esse respeito, três analistas, A, B e C, resolveram usar, respectivamente:
- \( θ=0,5 \) na distribuição amostral, a fim construir um intervalo de confiança bilateral para \( θ \) ao nível de confiança 0,95;
- \( θ={\large{S \over n}} \) na distribuição amostral, a fim construir um intervalo de confiança bilateral para \( θ \) ao nível de confiança 0,95;
- uma distribuição, a priori, uniforme no intervalo [0, 1] , a fim de construir um intervalo de credibilidade de 95% após observar a amostra.
A partir dessas informações, e considerando que para \( θ=0,5 \):
\( P(S \le 1)=0,011 \); \( P(S \le 2)=0,055 \); \( P(S \le 7)=0,945 \), e \( P(S \le 8)=0,989 \); e para \( θ=0,7 \): \( P(S > 7)=0,83 \), e \( P(S > 8)=0,149 \), jugue o item a seguir.
Sob a hipótese nula \( θ=0,5 \) contra a hipótese alternativa de \( θ ≠ 0,5 \), ao nível de significância de 5%, a hipótese nula será rejeitada se o intervalo de confiança do analista A não contiver 0,5.
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Uma população de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segue a distribuição de Bernoulli \( X_1 \sim \) Ber\( (θ) \), sendo \( P(X_i=1)=θ \) e \( P(X_i=0)=1-θ \). Uma amostra de tamanho n será retirada dessa população. A distribuição amostral da estatística suficiente, S, para \( θ \) é a binomial \( (n, θ) \), e S é a soma de X na amostra. O estimador de máxima verossimilhança para \( θ \) é \( θ_{MV}={\large{S \over n}} \). A esse respeito, três analistas, A, B e C, resolveram usar, respectivamente:
- \( θ=0,5 \) na distribuição amostral, a fim construir um intervalo de confiança bilateral para \( θ \) ao nível de confiança 0,95;
- \( θ={\large{S \over n}} \) na distribuição amostral, a fim construir um intervalo de confiança bilateral para \( θ \) ao nível de confiança 0,95;
- uma distribuição, a priori, uniforme no intervalo [0, 1] , a fim de construir um intervalo de credibilidade de 95% após observar a amostra.
A partir dessas informações, e considerando que para \( θ=0,5 \):
\( P(S \le 1)=0,011 \); \( P(S \le 2)=0,055 \); \( P(S \le 7)=0,945 \), e \( P(S \le 8)=0,989 \); e para \( θ=0,7 \): \( P(S > 7)=0,83 \), e \( P(S > 8)=0,149 \), jugue o item a seguir.
Sob a hipótese nula de \( θ=0,5 \), contra a hipótese alternativa de \( θ>0,5 \), o correspondente intervalo de confiança unilateral ao nível de confiança de 94,5% é \( \left [0; {\large{S+2 \over n}} \right ] \).
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Uma população de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segue a distribuição de Bernoulli \( X_1 \sim \) Ber\( (θ) \), sendo \( P(X_i=1)=θ \) e \( P(X_i=0)=1-θ \). Uma amostra de tamanho n será retirada dessa população. A distribuição amostral da estatística suficiente, S, para \( θ \) é a binomial \( (n, θ) \), e S é a soma de X na amostra. O estimador de máxima verossimilhança para \( θ \) é \( θ_{MV}={\large{S \over n}} \). A esse respeito, três analistas, A, B e C, resolveram usar, respectivamente:
- \( θ=0,5 \) na distribuição amostral, a fim construir um intervalo de confiança bilateral para \( θ \) ao nível de confiança 0,95;
- \( θ={\large{S \over n}} \) na distribuição amostral, a fim construir um intervalo de confiança bilateral para \( θ \) ao nível de confiança 0,95;
- uma distribuição, a priori, uniforme no intervalo [0, 1] , a fim de construir um intervalo de credibilidade de 95% após observar a amostra.
A partir dessas informações, e considerando que para \( θ=0,5 \):
\( P(S \le 1)=0,011 \); \( P(S \le 2)=0,055 \); \( P(S \le 7)=0,945 \), e \( P(S \le 8)=0,989 \); e para \( θ=0,7 \): \( P(S > 7)=0,83 \), e \( P(S > 8)=0,149 \), jugue o item a seguir.
O intervalo de credibilidade do analista C contém o verdadeiro valor do parâmetro populacional, com probabilidade 0,95.
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Uma população de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segue a distribuição de Bernoulli \( X_1 \sim \) Ber\( (θ) \), sendo \( P(X_i=1)=θ \) e \( P(X_i=0)=1-θ \). Uma amostra de tamanho n será retirada dessa população. A distribuição amostral da estatística suficiente, S, para \( θ \) é a binomial \( (n, θ) \), e S é a soma de X na amostra. O estimador de máxima verossimilhança para \( θ \) é \( θ_{MV}={\large{S \over n}} \). A esse respeito, três analistas, A, B e C, resolveram usar, respectivamente:
- \( θ=0,5 \) na distribuição amostral, a fim construir um intervalo de confiança bilateral para \( θ \) ao nível de confiança 0,95;
- \( θ={\large{S \over n}} \) na distribuição amostral, a fim construir um intervalo de confiança bilateral para \( θ \) ao nível de confiança 0,95;
- uma distribuição, a priori, uniforme no intervalo [0, 1] , a fim de construir um intervalo de credibilidade de 95% após observar a amostra.
A partir dessas informações, e considerando que para \( θ=0,5 \):
\( P(S \le 1)=0,011 \); \( P(S \le 2)=0,055 \); \( P(S \le 7)=0,945 \), e \( P(S \le 8)=0,989 \); e para \( θ=0,7 \): \( P(S > 7)=0,83 \), e \( P(S > 8)=0,149 \), jugue o item a seguir.
Se o verdadeiro valor do parâmetro populacional \( θ \) é igual a 0,5, em m amostras aleatórias de tamanho n com m →∞, a fração de vezes em que o intervalo de confiança do analista B conterá 0,5 será maior ou igual a 0,95.
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- Estatística InferencialEstimadoresPropriedades dos estimadores
- ProbabilidadesFunção Geratriz de Momentos
Uma população de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segue a distribuição uniforme \( X_1 \sim \) Uniforme\( [0, θ] \) no intervalo \( [0, θ] \), em que \( f(x)={\large{1 \over θ}} \) para \( 0 \le x \le θ \) e \( f(x)=0 \), caso contrário. Uma amostra de tamanho
n será retirada dessa população, sendo \( X_{(i)} \) a i-ésima estatística de ordem da amostra.
Tendo como referência essas informações, julgue o item o seguir.
O estimador \( 2 \cdot X_1 \) é não viesado e não é consistente.
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- Estatística InferencialEstimadoresEstimadores de Máxima Verossimilhança
- Estatística InferencialEstimadoresPropriedades dos estimadores
- ProbabilidadesFunção Geratriz de Momentos
Uma população de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segue a distribuição uniforme \( X_1 \sim \) Uniforme\( [0, θ] \) no intervalo \( [0, θ] \), em que \( f(x)={\large{1 \over θ}} \) para \( 0 \le x \le θ \) e \( f(x)=0 \), caso contrário. Uma amostra de tamanho
n será retirada dessa população, sendo \( X_{(i)} \) a i-ésima estatística de ordem da amostra.
Tendo como referência essas informações, julgue o item o seguir.
\( X_{(n)} *\left(1+ {\large{1 \over n}}\right) \) é o estimador não viesado de variância mínima para \( θ \).
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