Considerando uma amostra aleatória simples \( X_1, \cdots, X_n \) retirada de uma população normal com média 1 e variância 2, julgue o seguinte item, acerca da soma ponderada \( S_n = \sum_{k=1}^n 0,5^k X_k \).

S_n converge em probabilidade para o valor da média populacional.

Considerando uma amostra aleatória simples \( X_1, \cdots, X_n \) retirada de uma população normal com média 1 e variância 2, julgue o seguinte item, acerca da soma ponderada \( S_n = \sum_{k=1}^n 0,5^k X_k \).

A variância de S_n tende para zero à medida que n aumenta.

Considerando uma amostra aleatória simples \( X_1, \cdots, X_n \) retirada de uma população normal com média 1 e variância 2, julgue o seguinte item, acerca da soma ponderada \( S_n = \sum_{k=1}^n 0,5^k X_k \).

\( lim_{ n \rightarrow \infty} E[S_n]=1 \).

Considerando uma amostra aleatória simples \( X_1, \cdots, X_n \) retirada de uma população normal com média 1 e variância 2, julgue o seguinte item, acerca da soma ponderada \( S_n = \sum_{k=1}^n 0,5^k X_k \).

A razão \( \dfrac{S_n -1}{ \sqrt{2/n}} \) segue uma distribuição t de Student com − 1 graus de liberdade.

Considerando que X seja uma variável aleatória absolutamente contínua cuja função de distribuição acumulada seja representada por F(x), na qual \( x\,\in\,R \), julgue o próximo item, referente à transformação Y = F(X).

Y⁴ segue uma distribuição beta.

Considerando que X seja uma variável aleatória absolutamente contínua cuja função de distribuição acumulada seja representada por F(x), na qual \( x\,\in\,R \), julgue o próximo item, referente à transformação Y = F(X).

A mediana de Y é igual a 0,5.

Considerando que X seja uma variável aleatória absolutamente contínua cuja função de distribuição acumulada seja representada por F(x), na qual \( x\,\in\,R \), julgue o próximo item, referente à transformação Y = F(X).

A variância de Y é igual a 0,25.

Considerando que X seja uma variável aleatória absolutamente contínua cuja função de distribuição acumulada seja representada por F(x), na qual \( x\,\in\,R \), julgue o próximo item, referente à transformação Y = F(X).

\( E[In(Y)] \ge - 0,5 \).

Considerando que X seja uma variável aleatória absolutamente contínua cuja função de distribuição acumulada seja representada por F(x), na qual \( x\,\in\,R \), julgue o próximo item, referente à transformação Y = F(X).

P(Y < 0,95) = 0,90.

Sabendo que Z₁ e Z₂ são cópias independentes de uma distribuição normal padrão e considerando a razão \( R = \dfrac{Z_1}{Z_2} \), julgue o próximo item.

A variância do quadrado da razão, R² , é igual a 1.