Para se estimar a proporção p de pessoas que contraíram certa doença numa população, uma amostra aleatória simples de tamanho 400 foi obtida e revelou que, desses, 40 contraíram a doença.

Um intervalo aproximado de 95% de confiança para p será dado por

Avalie as afirmativas a seguir acerca de propriedades da média amostral como estimador da média populacional !$ \mu !$ de uma distribuição normal.

I. É não tendencioso de !$ \mu !$.

II. É estimador de máxima verossimilhança de !$ \mu !$.

III. É uniformemente de variância mínima para !$ \mu !$.

Está correto o que se afirma em

Suponha que uma amostra aleatória simples X₁, X₂, X₃, X₄, X₅, de tamanho 5, vá ser obtida de uma variável populacional com média !$ \mu !$ e variância !$ σ^2 !$. Considere os seguintes estimadores de !$ \mu !$:

T₁ = !$ \overline{X} !$

T₂ = (X₁+ 2X₂ + 3X₃ + 4X₄ + 5X₅)/15

T₃ = X₁

T₄ = (2X₁-X₂)/2

As variâncias de T₁, T₂, T₃ e T₄ valem respectivamente

Suponha que uma amostra aleatória simples X₁, X₂, X₃, X₄, X₅, de tamanho 5, vá ser obtida de uma variável populacional com média !$ \mu !$ e variância !$ σ^2 !$. Considere os seguintes estimadores de !$ \mu !$:

T₁ = !$ \overline{X} !$

T₂ = (X₁+ 2X₂ + 3X₃ + 4X₄ + 5X₅)/15

T₃ = X₁

T₄ = (2X₁-X₂)/2

Os estimadores não tendenciosos de !$ \mu !$ são

Uma amostra de 200 salários foi obtida e forneceu os seguintes dados agrupados:

A média desses dados é estimada em

O número de alunos que estão matriculados nas escolas A, B e C estão registrados na tabela 1, conforme o nível de ensino.

Todos estss alunos pagaram a matrícula de acordo com os valores da tabela 2.

O valor que a escola B arrecadou com matrículas nos dois níveis de ensino (em reais) e o valor total arrecadado pelas três escolas com matrículas do ensino médio (em reais), são respectivamente:

Considere uma variável aleatória X que corresponde à renda dos indivíduos em um país. Admitindo que X tem uma distribuição de Pareto mediante a função de distribuição !$ F(x)=1-(θ/x)^{\alpha} !$ para !$ x \ge θ > 0 !$ com !$ \alpha > 1 !$, obtém-se que a média desta distribuição é
igual a

Seja o modelo auto-regressivo e estacionário !$ Z_t=2+φZ_{t-1}+a_t !$ em que !$ φ > 0 !$ e !$ a_t !$ é o ruído branco de média 0 e variância igual a 0,64. Se a variância de !$ Z_t !$ é igual a 1, então o valor de !$ φ !$ é igual a

A variável aleatória !$ X= \begin{bmatrix}X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix} !$ apresenta uma distribuição normal multivariada com vetor de média !$ \mu !$ dado por !$ \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix} !$ e matriz de covariância !$ Σ = \begin{bmatrix}1 & 0 &-1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix} !$. Considerando uma outra variável aleatória !$ Y=2X_1-X_2+X_3 !$, obtém-se que a variância relativa de Y, definida como o resultado da divisão da variância de Y pelo quadrado da média de Y, é igual a

Em uma determinada data, foi encontrada a matriz de transição M (vide abaixo), após uma série de experiências, correspondendo às preferências do consumidor com relação ao consumo dos produtos !$ P_1 !$ e !$ P_2 !$

!$ P_1 !$ !$ P_2 !$

Considerando a matriz M e que a distribuição de probabilidades para a n-ésima experiência, com n tendendo ao infinito, seja a distribuição estacionária de Markov, obtém-se o correspondente vetor único de probabilidade fixo t de M igual a (m,n). O valor de m é igual a