A figura ilustra uma cunha de massa \( M \), cujo ângulo de inclinação em relação à horizontal é \( \alpha \), que repousa sobre a superfície do solo. Um bloco de massa \( m \) é colocado sobre a cunha a uma altura arbitrária acima do solo. O sistema é liberado a partir do repouso.

Dado:

aceleração da gravidade: \( g \).

Observação:

despreze os atritos entre o bloco e a cunha e entre a cunha e o solo.

A tangente do ângulo entre o vetor velocidade do bloco e o eixo \( x \) é:

Um drone quadricóptero de massa \( m \) é controlado por seu operador, de forma a executar uma trajetória vertical com aceleração constante para cima. De repente, seus quatro motores falham ao mesmo tempo e param bruscamente. Por conta de sua velocidade vertical já adquirida, o quadricóptero ainda continua sua trajetória para cima após a falha, atingindo ao final uma altura máxima \( h \) após \( \Delta t \) desde a partida do chão. Sabe-se que a força vertical \( F \) gerada por cada motor do drone é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade angular \( \omega \) do mesmo propulsor.

Dados:

massa do drone: \( m = 190\ g \); altura máxima atingida pelo drone, incluindo aceleração e desaceleração: \( h = 9\ m \); tempo de voo total do drone desde a saída do chão até atingir a altura máxima: \( \Delta t = 6\ s \); força vertical gerada por cada motor do drone: \( F = C_T\omega^2 \); constante de proporcionalidade: \( C_T = 5 \times 10^{-7} N.s^2/rad^2 \); aceleração da gravidade: \( g = 10\ m/s^2 \).

Observação:

considere que os propulsores atinjam suas velocidades angulares instantaneamente assim que comandados.

A velocidade angular dos propulsores imediatamente antes da falha, em rad/s, é

A figura mostra duas roldanas presas ao teto por hastes verticais, duas partículas de massa \( m \) e uma barra horizontal funcionando como uma “gangorra”. O sistema está inicialmente em repouso.

Dado:

• aceleração da gravidade: \( g \).

Observações:

• as hastes, roldanas e barra possuem massas desprezíveis;

• o fio que passa pelas roldanas é ideal e inextensível;

• os segmentos de fio desenhados na figura estão na vertical.

De acordo com os dados listados, geometria apresentada e pelo princípio da conservação da energia, o sistema, ao ser liberado, provoca uma aceleração inicial instantânea para baixo na partícula da direita de aproximadamente:

Um material radioativo é colocado num compartimento que viaja a uma velocidade muito alta. Assim, seu tempo de meia vida aumenta em relação ao referencial inercial, embora não seja afetado no referencial do compartimento, como mostra o gráfico acima. Um experimento é realizado com duas amostras iguais A e B desse material, sendo A colocada dentro do compartimento e B estando no referencial inercial.

Dados:

velocidade da luz no vácuo: c; tempo de meia vida do material radioativo no referencial inercial: dt.

A velocidade aproximada, estimada pelo gráfico, necessária para a viagem do compartimento de forma que a quantidade percentual da amostra A remanescente da desintegração exponencial seja o dobro se comparada com a percentual remanescente da desintegração da amostra B, após 5 vezes o tempo de meia vida em referencial inercial, é:

Dois cursores se movem sem atrito pelos eixos cartesianos, mantendo as molas indicadas na figura paralelas a eles. Presa em uma das extremidades de cada mola, uma partícula de massa \( m \) percorre portanto uma trajetória elíptica. Seja \( E_x \) a energia potencial elástica da mola com cursor deslizante sobre o eixo \( x \).

Dados:

equação da trajetória: \( 4x^2 - 32x + 9y^2 - 54y + 109 = 0 \) (todas as distâncias em metros); constante elástica de cada mola: \( k \).

O valor máximo de \( E_x \) é:

Vista lateral do veículo blindado de 6 rodas

Vista isométrica do veículo

Um engenheiro militar precisa estimar o número de cunhetes de munição que podem ser levados para uma operação anfíbia com um veículo blindado de 6 rodas. Na operação, serão empregados 11 militares e as dimensões externas do veículo são apresentadas nas figuras acima.

Dados:

massa média dos militares (com equipamento individual de combate): 100 kg; massa total do veículo blindado: 15000 kg; massa de um cunhete de munição: 5 kg; massa específica da água: \( 1000 \text{ kg/m}^3 \); aceleração da gravidade (vertical): \( g = 10 \text{ m/s}^2 \); \( \pi \times 0,6^2 \times 0,4 \approx 0,45 \); \( 0,8 \times 6,6 \times 2,7 \approx 14,3 \).

Observações:

desconsidere os movimentos do veículo com relação à água e as restrições volumétricas para o acondicionamento dos cunhetes de munição; o centro de massa do conjunto é tal que a linha limite indicada na figura esteja na horizontal e o ponto de aplicação do empuxo esteja na mesma vertical e acima do ponto de aplicação do peso.

Para que o veículo flutue sem que a água atinja a linha limite indicada em sua vista lateral, o número máximo de cunhetes de munição a serem acondicionados no veículo deverá ser de, aproximadamente:

Um tubo capilar de comprimento \( 5a \) é fechado em ambas as extremidades. Ele contém ar seco, que preenche o espaço no tubo não ocupado por uma coluna de mercúrio de densidade \( d \) e comprimento \( a \). Quando o tubo está na posição horizontal, as colunas de ar seco medem \( 2a \) cada. Levando lentamente o tubo para a posição vertical, sem que se passe ar de uma extremidade à outra, os comprimentos das colunas de ar tornam-se \( a \) e \( 3a \). Nessas condições, considerando a temperatura constante e sendo \( g \) a aceleração da gravidade, a pressão no tubo capilar, quando em posição horizontal (situação da Figura 1), é:

Devido à interação gravitacional com uma estrela, localizada no ponto \( (0,0) \), um asteroide desloca-se ao longo da seguinte trajetória, indicada na figura:

\( y = \dfrac{x^2}{2b} - \dfrac{b}{2} \)

Dados:

constante universal da gravitação: \( G \); massa da estrela: \( M \); massa do asteroide: \( m \).

Observações:

\( M \gg m \) para que se possa considerar a estrela fixa em \( (0,0) \); a circunferência de raio \( b \) tem o mesmo raio de curvatura da parábola em seu vértice; a velocidade do asteroide para \( y \gg b \) é desprezível.

A velocidade escalar do asteroide quando ele passa pelo ponto mais próximo da estrela é:

Três partículas puntiformes de mesmas cargas positivas são fixadas, todas sobre o eixo \( x \), no interior do círculo tracejado centrado em uma delas. Uma quarta partícula de carga negativa é fixada por uma haste isolante sobre o eixo \( y \), seguindo a geometria indicada.

Dados:

cargas das partículas positivas: \( +Q \); carga da partícula negativa: \( -Q \); constante eletrostática do meio: \( k \).

Observação:

despreze as forças gravitacionais.

A força de compressão na haste é:

Considere duas máquinas térmicas onde a potência de acionamento de um ciclo de refrigeração é obtida integralmente através da potência disponibilizada por um ciclo motor.

Dados:

temperatura de fonte quente do ciclo motor: \( 727 ^\circ C \); temperatura de fonte fria do ciclo motor: \( 27 ^\circ C \); temperatura de fonte quente do ciclo de refrigeração: \( 27 ^\circ C \); taxa de calor rejeitado da fonte quente no ciclo motor: \( 800 kJ/min \); taxa de calor rejeitado do ciclo de refrigeração para a fonte quente: \( 5040 kJ/min \).

Observação:

admita que os dois ciclos são compostos por processos termodinamicamente reversíveis.

No contexto das informações acima, a temperatura da fonte fria do ciclo de refrigeração, em \( ^\circ C \), é: