Qual das afirmações abaixo melhor descreve a origem conceitual do Erro de Truncamento em um método numérico?

Considere o plano W definido pela equação \( 3x +2y + z = 12 \) no espaço euclidiano \( R^3 \). Sejam os pontos \( A=(4, 0, 0) \), \( B=(0, 6, 0) \) e \( C=(0, 0, 12) \) os pontos onde o plano W intercepta os eixos coordenados x, y e z, respectivamente.

Considere ainda um ponto \( D=(x, y, z) \) que não pertence ao plano W e que satisfaz as seguintes condições:

1. O vetor AD é ortogonal ao vetor \( u=(1, 1, -1) \); e

2. O ponto D pertence ao plano yz.

Se o volume do tetraedro formado pelos vértices A, B, C e D é V = 116 u.v (unidades de volume), qual é o valor da coordenada z do ponto D?

O professor de Cálculo Diferencial e Integral do curso de engenharia estava ensinando os limites conhecidos como fundamentais para as demandas de Séries em Cálculo. Em sua explicação, propôs a demonstração do \( \lim_{x \rightarrow 0^\circ} \dfrac{\text{sen } x}{x} \). Sendo assim, após a demonstração, chegou ao resultado:

Considere as curvas \( y = x^2 - 2x + 2 \), \( y = x \). A região \( R \) limitada por essas curvas é rotacionada em torno da reta \( x = 3 \). O volume do sólido gerado por essa rotação é:

Considere \( T : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4 \) definida por \( T(v) = Av \), em que

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & 4 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

O núcleo de \( T \) é o subespaço de \( \mathbb{R}^4 \) gerado por:

Considere as afirmativas abaixo:

I) Se \( f(x) \) é uma função crescente de \( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), então \( f'(x) > 0 \), para todo \( x \in \mathbb{R} \).

II) Sejam \( f \) e \( g \) funções deriváveis em \( \mathbb{R} \), se o \( \lim_{x \rightarrow a} \dfrac{f(x)}{g(x)} \) tem inicialmente indeterminação \( \dfrac{0}{0} \), isso implica \( \lim_{x \rightarrow a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \), onde \( a \in \mathbb{R} \) ou impróprio.

III) O domínio de \( f(x) = \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)^x \) é \( \mathbb{R} - \{-1\} \), no campo dos reais.

IV) A função:

\( f(x,y) = \begin{cases} (x^2+y^2) \text{sen}^3 \left( \dfrac{1}{2x^3+3x^2} \right), & \text{se } (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & \text{se } (x,y) = (0,0) \end{cases} \)

é contínua em \( (0,0) \).

Assinale a alternativa correta:

Calcule o valor da integral \( \int_{2}^{3} \dfrac{\theta^4-2\theta^2+4\theta+1}{\theta^3-\theta^2-\theta+1} d\theta \).

Considere a região \( R \) do plano \( xy \) delimitada pela equação \( (x^2 + y^2)^3 = 9(x^2 - y^2)^2 \). Sendo assim, encontre a área total dessa região, em unidade de área.

Um tanque contém uma substância cuja quantidade \( y(t) \) em \( kg \) varia com o tempo (em horas) de acordo com a equação:

\( \dfrac{dy}{dx} = 2 - ky \), com \( k > 0 \), em que \( k \) é uma constante decaimento. Sendo assim, o que ocorre quando o tempo tende a infinito?