Um arquiteto desenvolveu o design de uma peça decorativa em formato de pentágono regular, cuja área é √5 + 1. Para criar uma nova versão do objeto, ele decidiu dobrar os cinco vértices da peça em direção ao seu centro, de modo que as pontas coincidissem nesse ponto, formando um novo pentágono menor no interior da figura original. 

Sabendo que o pentágono é regular e que o processo de dobra mantém a simetria da figura, determine a área do novo pentágono formado.

Um octógono regular ABCDEFGH possui área igual a 1 metro quadrado. Qual a área, em metros quadrados, do retângulo ABEF representado na figura abaixo?

Um engenheiro civil está projetando o arco decorativo de uma ponte. Para o cálculo da área de revestimento, ele considera o seguinte modelo geométrico:

• Um semicírculo maior, de raio 2, construído sobre o segmento AB;

• Três semicírculos menores, cada um de raio 1, construídos sobre o mesmo diâmetro AB;

• Os centros dos semicírculos menores dividem o segmento AB em quatro partes iguais, conforme ilustrado.

A região sombreada corresponde à parte interna ao semicírculo maior, mas externa aos três semicírculos menores. Qual o valor da área dessa região sombreada?

Um arquiteto paisagista está projetando uma fonte decorativa composta por duas estruturas semicirculares:

• o semicírculo menor, de diâmetro 1, representa a parte superior da fonte;

• o semicírculo maior, de diâmetro 2, representa a base.

A parte sombreada, situada dentro do semicírculo menor e fora do maior, forma uma faixa curva, conhecida em geometria como luna. Qual a área dessa luna?

Um engenheiro está projetando pequenos painéis triangulares de madeira para compor uma estrutura decorativa. Cada painel deve ter perímetro igual a 7 unidades e lados com comprimentos inteiros. Quantos triângulos não congruentes podem ser formados nessas condições?

Considere o número

21! = 21 × 20 × 19 × … × 2 × 1.

Sabe-se que esse número possui mais de 60 mil divisores inteiros positivos. Se um desses divisores é escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de ele ser ímpar?

Duas retas no plano cartesiano são dadas pelas equações

ax − 2y = c e 2x + by = −c

Sabendo que essas retas são perpendiculares e que se interceptam no ponto (1, −5), determine o valor de c.

Em uma empresa de tecnologia, os códigos de identificação dos produtos são formados apenas por números inteiros positivos. Para cada produto, define-se uma função S (n), que corresponde à soma dos dígitos do número n.

Por exemplo, S(1507) = 13. Sabe-se que, para determinado produto, o código possui soma dos dígitos iguais a S(n) = 1274. Ao ser gerado o próximo código sequencial, de número n + 1, qual dos seguintes valores poderia ser o valor de S (n + 1)?

Em um congresso com 30 participantes, há 20 pessoas que já se conhecem entre si e 10 pessoas que não conhecem ninguém do grupo. Durante o evento, foi combinado o seguinte protocolo de cumprimento:

• quando duas pessoas já se conhecem, elas se abraçam;

• quando duas pessoas não se conhecem, elas apertam as mãos.

Sabendo disso, determine quantos apertos de mão ocorrem durante o congresso.