Com base no teorema central do limite e na lei dos grandes números, julgue o próximo item, considerando !$ \phi^{-1} (0,975) = 1,96 !$.

Suponha que sejam escolhidos aleatoriamente 1.024 números do intervalo [0, 1], satisfazendo-se uma distribuição uniforme, e que X_i represente o i-ésimo número escolhido. Nesse caso, se !$ \bar{X} = { \large X_1 = X_2 + \cdots + X_{1.024} \over 1.024} !$, então, pela lei dos grandes números, garante-se que !$ P \left( | \bar{X} - { \large 1 \over 2} | \ge { \large 1 \over 16} \right) \le { \large 1 \over 48} !$.

Com base no teorema central do limite e na lei dos grandes números, julgue o próximo item, considerando !$ \phi^{-1} (0,975) = 1,96 !$.

Considere que !$ X_1, X_2, \cdots, X_n !$ sejam variáveis aleatórias com distribuições exponenciais de parâmetro !$ \lambda = 1/2 !$ independentes e identicamente distribuídas. Nesse caso, se !$ \bar{X} = { \large X_1+ X_2 + \cdots + X_n \over n} !$, então, para que !$ P( 1,5 \le \bar{X} \le 2,5) \ge 0,95 !$, é necessário que !$ n\,\ge\,62 !$.

Considerando a tabela precedente, que apresenta a função massa de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias discretas, X e Y, julgue o item que se segue.

!$ P( X =2) = { \large 19 \over 48} !$.

Considerando a tabela precedente, que apresenta a função massa de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias discretas, X e Y, julgue o item que se segue.

As distribuições X e Y são independentes.

Com relação a probabilidade e variáveis aleatórias, julgue o item a seguir.

Considere que X seja uma variável aleatória contínua com a função densidade de probabilidade apresentada a seguir.

Se X é uma variável aleatória geométrica de parâmetro 1/3, então o valor esperado da variável aleatória !$ Y = { \large 1 \over 5^X} !$ é !$ E \left [ { \large 1 \over 5^X} \right ] = { \large 1 \over 15} !$.

Com relação a probabilidade e variáveis aleatórias, julgue o item a seguir.

Considere que X seja uma variável aleatória contínua com a função densidade de probabilidade apresentada a seguir.

Em uma situação na qual um dado balanceado tenha sido lançado quatro vezes, a probabilidade de que o resultado desses lançamentos não tenha sido um número maior que 2 em duas das tentativas é de !$ { \large 2^4 \over 3^4} !$.

Com relação a probabilidade e variáveis aleatórias, julgue o item a seguir.

Considere que X seja uma variável aleatória contínua com a função densidade de probabilidade apresentada a seguir.

Suponha que X seja uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade !$ f(x) = { \large 3 \over 2} exp(-3|x|) !$, para todo !$ x\,\in\,\mathbb{R} !$. Nesse caso, se Y =X⁴, então a função densidade de probabilidade para Y é !$ g(y) = { \large 3 \over 4} \cdot { \large exp (-3^4 \sqrt{y}) \over \sqrt[4]{y}} !$ para todo y > 0.

Com relação a probabilidade e variáveis aleatórias, julgue o item a seguir.

Considere que X seja uma variável aleatória contínua com a função densidade de probabilidade apresentada a seguir.

!$ f(x) = { \begin{cases} { \large 5 \over 2} x^4, x\,\in\,[-1,1]\\0,x,\in\,\mathbb{R} | [-1,1] \end{cases}} !$

Nessa situação, a probabilidade !$ P \left( -{ \large 1 \over 2} \le X < { \large 1 \over 4} \right) = { \large 33 \over 2.048} !$.

Julgue os itens a seguir, considerando que E₁ e E₂ sejam eventos mutuamente independentes e que E₁ e E₃ sejam eventos mutuamente excludentes, de maneira que 0 < P(E_k) < 1 para todo k ∈ { 1, 2, 3, 4}.

Se P(E₁) = P(E₃) = 0,1, então P(E₁ ∩ E₃) = 0,01.

Julgue os itens a seguir, considerando que E₁ e E₂ sejam eventos mutuamente independentes e que E₁ e E₃ sejam eventos mutuamente excludentes, de maneira que 0 < P(E_k) < 1 para todo k ∈ { 1, 2, 3, 4}.

Se P(E₁) = P(E₂) = 0,5, então P(E₁ ∪ E₂) = 0,75.