Leia o fragmento de texto a seguir:

[...] E o príncipe Cluzir Schá narrou o seguinte:

- Um navio que voltava de Serendibe (nome antigo de Ceilão, atual Sri Lanka), trazendo grande quantidade de especiarias, foi atingido por violenta tempestade. A embarcação teria sido destruída pela fúria das ondas, se não fosse a bravura e o esforço de três marinheiros que, no meio da tormenta, manejaram as velas com extrema perícia. O comandante, querendo recompensar os valentes marujos, deu-lhes 241 catis (Catil, moeda; unidade de peso). As moedas foram colocadas em uma caixa, para que no dia seguinte, por ocasião do desembarque, o almoxarife as repartisse entre os três corajosos marinheiros. Aconteceu, porém, que durante a noite, um dos marinheiros acordou, lembrou-se das moedas e pensou: “Será melhor que eu tire a minha parte. Assim não terei ocasião de discutir ou brigar com os meus amigos”. E, sem nada dizer aos companheiros, foi, pé ante pé, até onde se achava guardado o dinheiro. Dividiu-o em três partes iguais, mas notou que a divisão não era exata e que sobrava um catil. “Por causa dessa mísera moedinha é capaz de haver, amanhã, discussão e rixa. O melhor é jogá-la fora.” E o marinheiro atirou a moeda ao mar, retirandose, cauteloso. Levava a sua parte e deixava no mesmo lugar a que cabia aos companheiros. Horas depois, o segundo marinheiro teve a mesma ideia. Foi à arca em que se depositara o prêmio coletivo e dividiu-o em três partes iguais. Sobrava uma moeda. Ao marujo, para evitar futuras dúvidas, veio à lembrança atirá-la ao mar. E dali voltou levando consigo a parte a que se julgava com direito. O terceiro marinheiro, ignorando a antecipação dos colegas por completo, teve a mesma iniciativa. Levantou-se de madrugada e foi, pé ante pé, à caixa dos catis. Dividiu as moedas que lá encontrou em três partes iguais; a divisão não foi exata. Sobrou um catil. Não querendo complicar o caso, o marujo atirou ao mar a moedinha excedente, retirou a terça parte para si e voltou tranquilo para o seu leito. No dia seguinte, na ocasião do desembarque, o almoxarife do navio encontrou um punhado de catis na caixa. Soube que essas moedas pertenciam aos três marinheiros. Dividiu-as em três partes iguais, dando a cada um dos marujos uma dessas partes. Ainda dessa vez, a divisão não foi exata. Sobrava uma moeda, que o almoxarife guardou como paga do seu trabalho e de sua habilidade. É claro que nenhum dos marinheiros reclamou, pois cada um deles estava convencido de que já havia retirado da caixa a parte que lhe cabia do dinheiro.

Adaptado de: TAHAN, Malba. O homem que calculava. 3ª ed. Rio de Janeiro: Record, 2017 – Problema 19: O problema dos marinheiros, pp. 141-145.

Com base no texto, qual seria a diferença entre a quantidade de moedas do primeiro marujo para o terceiro marujo?

Marin Mersenne (1588 – 1648) foi um monge francês que tinha muito interesse pela ciência. Nos dias atuais, ele é lembrado principalmente pelos números primos de Mersenne. Esses números podem ser escritos da forma 2ⁿ - 1 em que n é um número natural. O número 7, por exemplo, é um número primo de Mersenne, pois pode ser escrito como 2³ - 1 . O número 11, apesar de ser primo, não é um primo de Mersenne, pois não há um número natural p tal que 2^p - 1 = 11. Já o número 15, pode ser escrito como 2⁴ - 1, mas não é um número primo de Mersenne, por não ser primo.

Atualmente, há apenas 51 números primos de Mersenne descobertos, sendo que o último corresponde a n = 82.589.933 e tem 24.862.048 algarismos. Essa última descoberta ocorreu em 7 de dezembro de 2018, por Patrick Laroche, profissional de TI (Tecnologia da Informação) que trabalha na Flórida, Estados Unidos.

Com base nas informações anteriores, quantos números primos de Mersenne existem entre 1 e 10.000?

Determine a soma dos algarismos do número N:

N = 2⁸ . 3 . 5⁹ . 7²

O esquema a seguir ilustra a planificação de um trecho urbano, onde aparecem os cruzamentos entre as vias. Sabe-se que as ruas X, Y e Z são paralelas. Algumas das distâncias, aproximadas, entre as ruas são exibidas na imagem.

Suponha que uma pessoa está no cruzamento entre as ruas Z e V e quer ir até o cruzamento entre as ruas Y e W. Para fazer isso ela tem dois caminhos: no primeiro deles a pessoa iria pela rua Z e viraria à esquerda na rua W até chegar ao ponto desejado. No segundo caminho a pessoa continuaria pela rua V e viraria à direita na rua Y até chegar a seu objetivo.

A diferença entre as distâncias percorridas no primeiro e no segundo caminhos pertence a qual dos intervalos a seguir?

Observação: figura ilustrativa e fora de escala.

O diretor de uma empresa estabeleceu que os cartões de visita da corporação tivessem o formato retangular, satisfazendo a seguinte condição: cada cartão deveria ter o comprimento 60% maior que a largura. Para fazer esses cartões, foi utilizada uma chapa de plástico PVC (policloreto de vinila) com área útil de 7018 cm². Com essa chapa foi possível fazer 145 cartões, sem que tivesse havido sobras, ou seja, toda a chapa foi utilizada.

Lembre-se que a área de um retângulo é dada por !$ A = b .h !$, em que !$ b !$ é a medida da base do retângulo e !$ h !$ sua altura.

Com base nessas informações, qual a largura e o comprimento desses cartões, respectivamente?

Sejam !$ x, y !$ e !$ z !$ três números reais positivos e distintos de zero. Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) as sentenças abaixo. Em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.

I - ( ) Se !$ x, então !$ x+y

II - ( ) Se !$ x, então !$ -x < -z !$

III - ( ) Se !$ x < y < z !$, então !$ x . y < z . y !$

IV - ( ) Se !$ x, então !$ x^2< z^2 !$

Hiparco de Niceia viveu no século II a.C. e é considerado um dos grandes astrônomos da Antiguidade. Na área da Matemática, teve grande destaque ao introduzir, na Grécia, a divisão da circunferência em 360º. Além disso, seus estudos sobre o cálculo do comprimento das cordas de uma circunferência deram origem à primeira tabela trigonométrica de que se tem conhecimento. Dentre as contribuições de Hiparco para a Matemática, está aquela que define a corda de uma circunferência como sendo qualquer segmento de reta que liga dois pontos da circunferência. Quando a corda contém o centro da circunferência, ela é chamada de corda máxima ou diâmetro da circunferência.

Considere na circunferência a seguir que:

1. !$ \overline{AC} !$ é uma corda máxima;
2. é o centro da circunferência;
3. !$ \overline{OE} !$ = 5;
4. O ângulo !$ \beta !$ = 60º

Qual é a razão entre as medidas das cordas !$ \overline{BC} !$ e !$ \overline{AB} !$, respectivamente?

Observação: figura ilustrativa e fora de escala.

Determine os valores de !$ m !$ para que a equação abaixo possua duas raízes reais distintas.

!$ mx^2\ +\ mx\ -\ 4x\ +\ \dfrac{1}{2}\ =\ 0 !$

Uma equipe de cinco atletas tem média de altura igual a 1,72 m. Se mais uma pessoa com 1,78 m entrar para a equipe, qual será a nova média de altura?

Um triângulo retângulo possui catetos de medidas !$ a !$ e !$ b !$ e hipotenusa medindo !$ x !$ . Sabendo que !$ a+b=20 !$, determine o valor de !$ a . b !$ :