Os alunos do 9º ano do CMRJ foram a uma visita ao Palácio Duque de Caxias para, além de conhecer o palácio, executar um trabalho sobre “grandes medições”, solicitado pelo seu professor de Matemática.

Os alunos tinham que estimar a altura do prédio da Central do Brasil localizado ao lado do Palácio Duque de Caxias. Para realizar a tarefa, os alunos teriam que fazer a medição de ângulos a partir de três pontos distintos, determinados pelo professor, com o auxílio de um teodolito e utilizar √3=1,73 em seus cálculos.

Observe os resultados obtidos com as três medições descritas a seguir:

1. a primeira medição foi feita a uma distância de 410m do prédio, e o topo do prédio foi observado segundo um ângulo de 15º;
2. a segunda medição foi feita depois de se aproximar do prédio, e o ângulo observado foi o dobro do ângulo da primeira medição;
3. a terceira medição foi feita depois de se aproximar 84m do prédio, a partir do ponto da segunda medição, e o ângulo observado foi o triplo do ângulo da primeira medição.

Disponível em: <<<https://fatosfotoseregistros.files.wordpress.com/2016/06/central2015.jpg?w=640>>>. Acesso em: 20 jun 2018.

A partir desses dados, calcule o valor aproximado da altura do prédio da Central do Brasil.

A equação do segundo grau cujas raízes são iguais ao triplo do valor das raízes da equação !$ x !$²+!$ b !$!$ x !$+!$ c !$=0 é

Assinale a opção que contém a afirmação correta.

Com base na definição a seguir, responda à questão 17.

“A área de um triângulo é a metade do produto da medida de sua base pela medida de sua altura.”

Considere o retângulo ABCD, cuja base mede 40 cm e altura mede 60 cm, e o triângulo BEF construído com vértices sobre os lados do retângulo, conforme a figura abaixo. Sabendo que !$ E !$!$ D !$=3!$ D !$!$ F !$ e a área do triângulo BEF é a maior possível, qual a área deste triângulo?

A forma de potência mais simples do radical !$ \sqrt[3]{11^{29}.\sqrt[4]{11^{28}.\sqrt[5]{11^{27}.\sqrt[6]{11^{26}.\sqrt[7]{11^{25}}}}}} !$ é:

Na primeira fase da Copa do Mundo de 2018, fase de grupos, as trinta e duas seleções foram divididas em oito grupos de quatro seleções, sendo que as duas seleções melhor classificadas de cada grupo avançaram para a próxima fase. Cada uma das quatro seleções, de cada grupo, jogou uma vez com as outras três seleções.

Segundo o critério de pontos (Pt), a cada vitória, a seleção computava três pontos e, a cada derrota, zero ponto. Em caso de empate no jogo, somou-se um ponto para cada seleção.

Em caso de igualdade na pontuação, ao final da primeira fase, os critérios de desempate foram:

1. Melhor saldo de gols (total de gols feitos menos o total de gols sofridos);

2. Maior número de gols feitos (gols pró);

3. Confronto direto;

4. Menos cartões vermelhos e amarelos;

5. Sorteio.

Numa simulação dos jogos da primeira fase, de um grupo qualquer, ocorreu o descrito abaixo:

1. houve um time que ganhou todas as partidas por um a zero;
2. houve um outro time que perdeu todas as partidas por zero a um.

Considerando apenas os critérios de pontos (Pt), o critério 1 de desempate (Sd) e o critério 2 de desempate (Gp), qual das opções abaixo pode representar as pontuações das quatro seleções desse grupo?

Dado que a bissetriz do ângulo !$ \hat{ACB} !$ é o lugar geométrico dos pontos que equidistam das semirretas !$ \vec{CA} !$ e !$ \vec{CB} !$ e, portanto, divide o ângulo em dois ângulos congruentes, considere um triângulo ABC isósceles com !$ A !$!$ B !$=!$ A !$!$ C !$=1!$ c !$!$ m !$ e !$ m !$!$ e !$!$ d !$(!$ \hat{A} !$ )=360. Se !$ D !$ ∈ !$ \bar{AB} !$ de forma que seja a bissetriz do ângulo !$ \hat{C} !$ , então a medida !$ \bar{BC} !$ é

Utilizando as três definições apresentadas a seguir, responda à questão 13.

I. Um círculo de centro O e raio k é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância ao centro O é menor ou igual a k.

II. Reta tangente a um círculo, de centro O, em um ponto P é a reta que intersecta o círculo no ponto P e é perpendicular ao raio !$ \bar{OP} !$

III. Círculos tangentes exteriores são círculos que se intersectam em apenas um ponto, e a distância entre seus centros é igual a soma dos seus raios.

Na figura abaixo, são apresentados três círculos de centros O₁, O₂ e O₃ e raios R, n e r respectivamente. Esses círculos são tangentes exteriores e também tangentes a uma reta t. Assim o valor de n é

A companhia de turismo Vivitour freta um ônibus de 40 lugares de acordo com as seguintes condições descritas no contrato de afretamento:

I. Cada passageiro pagará R$160,00, se todos os 40 lugares forem ocupados.

II. Cada passageiro pagará um adicional de R$8,00 por lugar não ocupado.

Quantos lugares a companhia de turismo deverá vender para garantir lucro máximo?

Considere o quadrado ABCD, cujo lado mede 5cm, e M um ponto sobre o círculo circunscrito a este quadrado, não coincidente com os vértices A, B, C e D, conforme ilustra a figura a seguir.

Qual o valor da soma (!$ M !$!$ A !$)²+(!$ M !$!$ B !$)²+(!$ M !$!$ C !$)²+(!$ M !$!$ D !$)²?