Um paciente que compre, mensalmente, determinado medicamento pode optar pelos fornecedores A ou B. Suponha que, em casa mês t (t = 1, 2, 3, ...), essa opção seja feita de acordo com um processo de Markov de primeira ordem: denotada por {Z_t}, em que, no mês t, Zt = 1, se o paciente optar pelo fornecedor A, ou Z_t = 0, se ele optar pelo fornecedor B.

Na matriz !$ P = \begin{pmatrix} 0,8 & 0,2 \\ 0,5 & 0,5 \end{pmatrix} !$, cada entrada P_ij, i, j = 0 ou 1 representa a probabilidade de transição do estado i no instante t 1 para o estado j no instante t.

Com base nessas informações, julgue o item a seguir.

O referido processo de Markov é duplamente estocástico.

Uma amostra aleatória simples Y1, Y2, ..., Y25 foi retirada de uma distribuição normal com média nula e variância σ², desconhecida. Considerando que !$ P(\chi^2 < 13)=P(\chi² > 41) = 0,025 !$ , em que !$ \chi^2 !$ representa a distribuição qui-quadrado com 25 graus de liberdade, e que !$ S^2 = \sum^{25}_{t=1} Y^2_i !$, julgue o item a seguir.

A variância da distribuição x² com 25 graus de liberdade é superior a 40.

Uma amostra aleatória simples Y1, Y2, ..., Y25 foi retirada de uma distribuição normal com média nula e variância σ², desconhecida. Considerando que P(x² < 13) = P(X² > 41) = 0,025, em que x² representa a distribuição qui-quadrado com 25 graus de liberdade, e que !$ S^2 = \sum^{25}_{t=1} Y^2_i !$, julgue o item a seguir.

A razão !$ \dfrac {\sum^{25}_{t=1} Y_i /25} {\sqrt {\sum^{25}_{i-1} Y^2_t}} !$ segue uma distribuição t de Student com 24 graus de liberdade.

Uma amostra aleatória simples Y1, Y2, ..., Y25 foi retirada de uma distribuição normal com média nula e variância σ², desconhecida. Considerando que P(x² < 13) = P(X² > 41) = 0,025, em que x² representa a distribuição qui-quadrado com 25 graus de liberdade, e que !$ S^2 = \sum^{25}_{t=1} Y^2_i !$, julgue o item a seguir.

[S²/41;S²/13] representa um intervalo de 95% de confiança para a variância σ².

X₁, X₂, ..., X₁₀ representa uma amostra aleatória simples retirada de uma distribuição normal com média μ e variância σ², ambas desconhecidas. Considerando que !$ \hat {\mu} !$ e !$ \hat {\sigma} !$ representam os respectivos estimadores de máxima verossimilhança desses parâmetros populacionais, julgue o item subsecutivo.

A soma X₁ + X₂ + ... + X₁₀ é uma estatística suficiente para a estimação do parâmetro !$ \mu !$.

X₁, X₂, ..., X₁₀ representa uma amostra aleatória simples retirada de uma distribuição normal com média μ e variância σ², ambas desconhecidas. Considerando que !$ \hat {\mu} !$ e !$ \hat {\sigma} !$ representam os respectivos estimadores de máxima verossimilhança desses parâmetros populacionais, julgue o item subsecutivo.

A razão !$ \dfrac {\hat {\mu} - \mu} {\sigma} !$ segue uma distribuição normal padrão.

X₁, X₂, ..., X₁₀ representa uma amostra aleatória simples retirada de uma distribuição normal com média μ e variância σ², ambas desconhecidas. Considerando que !$ \hat {\mu} !$ e !$ \hat {\sigma} !$ representam os respectivos estimadores de máxima verossimilhança desses parâmetros populacionais, julgue o item subsecutivo.

O estimador de máxima verossimilhança para a função de densidade da distribuição normal em questão é

!$ \hat f(x) = {1 \over \hat \sigma \sqrt {2 \pi}} \exp \left [ -{1 \over 2} \left ({x - \hat \mu \over \hat \sigma} \right )^2 \right ] !$

para qualquer valor real x.

X₁, X₂, ..., X₁₀ representa uma amostra aleatória simples retirada de uma distribuição normal com média μ e variância σ², ambas desconhecidas. Considerando que !$ \hat {\mu} !$ e !$ \hat {\sigma} !$ representam os respectivos estimadores de máxima verossimilhança desses parâmetros populacionais, julgue o item subsecutivo.

A média do erro quadrático (mean squared error) do estimador σ² é maior que Var(σ²).

X₁, X₂, ..., X₁₀ representa uma amostra aleatória simples retirada de uma distribuição normal com média μ e variância σ², ambas desconhecidas. Considerando que !$ \hat {\mu} !$ e !$ \hat {\sigma} !$ representam os respectivos estimadores de máxima verossimilhança desses parâmetros populacionais, julgue o item subsecutivo.

!$ \hat {\sigma} !$ é um estimador viciado (ou tendencioso) para a variância populacional, pois !$ E (\hat {\sigma})^2 \ne \sigma^2 !$.

Todo paciente que chega a determinado posto hospitalar é imediatamente avaliado no que se refere à prioridade de atendimento. Suponha que o paciente seja classificado como “emergente” (Y = 0) ou como “não emergente” (Y = 1), e que as quantidades X, diárias, de pacientes que chegam a esse posto sigam uma distribuição de Poisson com média igual a 20. Considerando que W represente o total diário de pacientes emergentes, de tal sorte que !$ P(W = w | X = x) = \binom{x}{w} 0,1^w 0,9^{x-w} !$, em que 0 < w < x e x > 0, julgue o item subsequente.

Para 0 < w < x, as variáveis aleatórias W e X se distribuem, conjuntamente, como !$ P (W = w, X=x) = e ^{-20} \times \dfrac {2^x} {w!} \times \dfrac {9^{x-w}} {(x-w)!} !$.