O número de autoestados degenerados correspondentes ao nível energético E₅ do átomo de hidrogênio não relativístico e sem spin é igual a

Considerando o átomo de hidrogênio dentro da aproximação não-relativística e com partículas sem spin, assinale a opção correta.

Texto para a questão.

Considere o modelo de rotor simétrico, com momentos de inércia I_x, I_y e I_z, em que I_x = I_y, todos no sistema de coordenadas do próprio rotor, sendo descrito pelo hamiltoniano !$ H= (L_x^2 + L_y^2)/(2I_x) + L_z^2 /(2 I_z) !$. Suponha que L_x, L_y e L_z sejam os operadores de momento angular, também definidos no sistema de coordenadas do rotor.

Os autoestados do Hamiltoniano são os harmônicos esféricos !$ Y_l^m ( \theta, \varphi) = \langle \theta, \varphi | l,m \rangle !$ com as autoenergias !$ E_{l,m} !$, dadas por !$ E_{l,m} = { \large 1 \over 2I_x} l(l +1) \hbar^2 + \left( { \large 1 \over 2I_x} - { \large 1 \over 2I_z} \right) m \hbar^2 !$. Além disso, !$ L_z|l, m \rangle = m \hbar | l, m \rangle !$, !$ L_+ = L_x + iL_y !$ e !$ L_{-} = L_x - iL_y !$, com !$ L_\pm| l, m \rangle = \hbar \sqrt{ ( l \mp m) ( l \pm m +1)} | l, m\pm 1 \rangle !$.

Suponha que o estado do rotor no instante t = 0 seja !$ Y_3^0 ( \theta, \varphi) !$. Então, é correto concluir que a probabilidade para que, em um instante !$ t = { \large 4 \pi I_x \over \hbar} !$, se obtenha o autovalor de L_x com valor !$ \hbar !$ deve ser igual a

Texto para a questão.

Considere o modelo de rotor simétrico, com momentos de inércia I_x, I_y e I_z, em que I_x = I_y, todos no sistema de coordenadas do próprio rotor, sendo descrito pelo hamiltoniano !$ H= (L_x^2 + L_y^2)/(2I_x) + L_z^2 /(2 I_z) !$. Suponha que L_x, L_y e L_z sejam os operadores de momento angular, também definidos no sistema de coordenadas do rotor.

Os autoestados do Hamiltoniano são os harmônicos esféricos !$ Y_l^m ( \theta, \varphi) = \langle \theta, \varphi | l,m \rangle !$ com as autoenergias !$ E_{l,m} !$, dadas por !$ E_{l,m} = { \large 1 \over 2I_x} l(l +1) \hbar^2 + \left( { \large 1 \over 2I_x} - { \large 1 \over 2I_z} \right) m \hbar^2 !$. Além disso, !$ L_z|l, m \rangle = m \hbar | l, m \rangle !$, !$ L_+ = L_x + iL_y !$ e !$ L__ = L_x - iL_y !$, com !$ L_\pm| l, m \rangle = \hbar \sqrt{ ( l \mp m) ( l \pm m +1)} | l, m\pm 1 \rangle !$.

Para qualquer estado do rotor, o valor esperado para uma medida de !$ (L_x + L_y + L_z) !$ deve ser igual a

Texto para a questão.

Considere um sistema inicialmente no estado

!$ | \Psi \rangle = { \large 1 \over \sqrt{5}} | 1, -1 \rangle + \sqrt{ { \large 3 \over 5}}| 1,0 \rangle + { \large 1 \over 5} | 1,1 \rangle !$

em que !$ \langle \theta, \varphi |l, m \rangle = Y_l^m ( \theta, \varphi) !$ são harmônicos esféricos. Além disso, !$ \langle l^{ \prime}, m^{ \prime}| l, m \rangle = \delta_l, {}_l \delta_{m^{\prime},m} !$.

Considere que os operadores tipo escada referentes ao momento angular podem ser escritos como !$ L \pm | l, m \rangle = \hbar \sqrt{ ( l \pm m) ( l \mp m +1)} | l, m \pm 1 \rangle !$.

Sejam !$ L_z | l, m \rangle = m\,\hbar | l, m \rangle !$ e os valores para L_z, l_z, restritos a um conjunto de valores discretos. Considerando o estado do sistema descrito, caso L_z seja medido, os valores esperados que l_z pode assumir e suas probabilidades P_lz são respectivamente iguais a

Texto para a questão.

Considere um sistema inicialmente no estado

!$ | \Psi \rangle = { \large 1 \over \sqrt{5}} | 1, -1 \rangle + \sqrt{ { \large 3 \over 5}}| 1,0 \rangle + { \large 1 \over 5} | 1,1 \rangle !$

em que !$ \langle \theta, \varphi |l, m \rangle = Y_l^m ( \theta, \varphi) !$ são harmônicos esféricos. Além disso, !$ \langle l^{ \prime}, m^{ \prime}| l, m \rangle = \delta_l, {}_l \delta_{m^{\prime},m} !$.

Considere que os operadores tipo escada referentes ao momento angular podem ser escritos como !$ L \pm | l, m \rangle = \hbar \sqrt{ ( l \pm m) ( l \mp m +1)} | l, m \pm 1 \rangle !$.

Então, o valor de !$ \langle \Psi|L_+| \Psi \rangle !$ é igual a

Considere uma partícula de massa m que está limitada a mover-se sobre uma superfície esférica de raio r, mas livre da influência de qualquer outro potencial. Desse modo, a energia dessa partícula é puramente cinética, e o hamiltoniano pode ser escrito em termos do momento angular total, L. Suponha que E_n (com n = 0, 1, 2, ...) sejam as energias permitidas para essa partícula e !$ l(l + 1) \hbar^2 !$, os autovalores de L², com l inteiro não-negativo. Nessa situação, o valor de E_n é

O rotor rígido é um modelo mecânico usualmente utilizado para explicar os sistemas rotativos. Ele consiste de duas partículas de massa m mantidas a uma distância fixa a uma da outra. O sistema é livre para girar em três dimensões em torno do centro de massa (mas o ponto central em si é fixo). O modelo do rotor rígido pode ser utilizado na mecânica quântica para avaliar a energia rotacional de uma molécula diatômica, por exemplo. Em um espaço livre de interações externas, o operador de energia H corresponde à energia cinética do sistema, o qual pode ser escrito em termos do momento angular total, L. Sejam E_n (com n = 0, 1, 2, ...) as energias permitidas para o rotor rígido e !$ l(l + 1) \hbar^2 !$ os autovalores de L², 2 com l inteiro não negativo. Então, o valor de E_n é

Considere as relações de comutação

!$ \left \lbrack r_i,p_j \right \rbrack = -\left \lbrack p_i,r_j \right \rbrack = i \hbar \delta_{ij}, \left \lbrack r_i,r_j \right \rbrack = \left \lbrack p_i,p_j \right \rbrack = 0, !$

em que os índices correspondem a x, y e z, com !$ r_x = x, r_y = y\,e\,r_z = z, e p_i =-i \hbar \partial \, \partial r_i !$. Seja L o operador momento angular total, tal que !$ L^2 \equiv L_x^2 + L_y^2 + L_z^2 !$, com !$ Lx = yp_z - zp_y, L_y = zp_x - xp_z !$ e !$ L_z = xp_y - yp_x !$. Com base nesse assunto, assinale a opção que apresenta uma relação de comutação correta.

Texto para a questão.

Considere um poço duplo de potencial quadrático, conforme mostrado na figura abaixo.

A profundidade -V₀ e a largura a dos poços de potencial são fixas e largas o suficiente para que haja vários estados ligados. A barreira, de largura b, entretanto, é variável.

O poço duplo de potencial é um modelo unidimensional bastante rudimentar para o potencial exercido sobre um elétron em uma molécula diatômica. Nesse sentido, os dois poços representam a força atrativa dos núcleos. Se os núcleos são livres para se mover, eles irão adotar uma configuração de mínimo de energia.

A figura acima mostra o comportamento da energia no estado fundamental, E₀, e no primeiro estado excitado, E₁, à medida que a largura da barreira, b, cresce. O valor χ é igual a !$ { \large r^2 \hbar^2 \over (2ma^2)} !$. Tendo como base o enunciado acima desprezando os efeitos de repulsão internucleares, assinale a opção correta.