A figura abaixo mostra uma circunferência de raio r, centrada no ponto C.

O ângulo do setor circular \( (A \hat{C} B) \) é \( \alpha \) dado em radianos. O ponto D é o ponto médio do segmento CB e o ponto E é o ponto médio do segmento DB. Indique a área sombreada da figura:

A respeito dos quadriláteros, observe as seguintes afirmações:

I – Um retângulo é um caso especial do paralelogramo onde os ângulos internos são sempre retos.

II – Um trapézio tem um par de lados sempre paralelos.

III – Em um losango, as diagonais são sempre perpendiculares e há apenas dois lados congruentes.

Estão corretas:

Dada a equação:

\( a_4x^4 + a_3 X^3 + a_2 X^2 + a_1 x + a_0 = 0 \)

Assinale a alternativa correta:

Um quadrado EFGH é colocado dentro de um quadrado ABCD conforme a figura:

Os pontos E, F, G e H são os pontos médios dos lados AD, AB, BC e CD. Indique a razão entre a área sombreada e a área do quadrado ABCD:

Para um determinado jogo, as faces de um dado de 6 lados foram pintadas com as seguintes operações: Além disso, os jogadores possuem outro dado ‘numérico’, isto é, com os números de 1 a 6 em suas faces. O jogo possui a seguinte regra: uma pessoa gira o dado numérico, obtendo um número, depois gira o dado com as operações.

• Se obtiver a operação ‘raiz quadrada’ ou ‘fatorial’, ele opera com o número inicialmente obtido, encontrando o resultado.

• Se obtiver qualquer outra operação, gira o dado numérico novamente para encontrar o segundo número, e realiza a operação seguindo a ordem de lançamento dos dados, encontrando o resultado.

Qual a probabilidade de um jogador obter o resultado 11 seguindo essas regras?

Dois sistemas eletrônicos A e B serão conectados. Eles irão funcionar ambos numa dada frequência \( \omega_0 \). Porém, a eficiência do sistema A é dada em função da frequência por \( \varepsilon_A (\omega) = \omega + 3 \), já a eficiência do sistema B é dada por \( \varepsilon_B ( \omega) = - \omega^2 + 9 \omega -12 \). Sabe-se que após a conexão, a eficiência do sistema será dada por \( \varepsilon_A( \omega) * \varepsilon_B (\omega) \). Qual deve ser o \( \omega = \omega_0 > 0 \) para que a eficiência do sistema em conjunto seja máxima?

Observe a figura abaixo:

O triângulo ABC é equilátero. Os pontos E e D são os pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente. A sequência continua conforme a figura, pegando sempre os pontos médios. Por exemplo, os pontos F e G são os pontos médios dos lados ED e AD, respectivamente. Seguindo a sequência, indique a razão entre a área da região sombreada e a área do triângulo ABC.

A média móvel é um indicador bastante utilizado para descrever séries históricas ‘ruidosas’. A tabela abaixo mostra uma série histórica do volume de vendas de um determinado produto, de junho até dezembro:

Seja a variável A_n o volume de vendas do mês n e a média móvel definida como:

\( \bar{A}_n = { \large A_n + A_{n-1} + A_{n+1} \over 3} \)

Indique a o valor da média móvel em setembro:

O gráfico abaixo mostra o montante resultante de duas aplicações com mesmo capital inicial feitas no regime de juros simples e juros compostos, no mesmo tempo inicial.

Suponha que a taxa de juro no regime simples é i₁% ao mês, enquanto no regime de juros compostos é i₂% ao mês (i₁ e i₂ reais maiores que zero). Nessas condições, é correto afirmar que:

Indique a razão entre a altura e a base de um triângulo para que ele seja equilátero: