Os números naturais de 0 a 10 foram distribuídos em Rascunho dois conjuntos: M = {m₁, m₂, m₃, m₄, m₅} e N = {n₁, n₂, n₃, n₄, n₅, n₆}, com m_i + ₁ > m_i e n_i + 1 > n_i .

A tabela indica algumas informações estatísticas sobre os dois conjuntos:

De acordo com as informações, o valor de m₅ – m₁ + n₂ + n₅ é

Considere os dois modelos de séries de tempo abaixo.

(I) \( Y_t=a{Y}_{t-1}+u_t+\beta u_{t-1} \),

onde \( 0 < a < 1 \), \( Y_o \) é um valor inicial não-aleatório para \( Y \), e \( u_t \) é um ruído branco, que tem distribuição normal e satisfaz as seguintes condições: \( E(u_t)=0 \) e \( E(u_t^2)= σ^ > 0 \) para todo \( t \), e \( E(u_tu_s)=0 \) para \( t ≠ s \).

(II) \( Z_t=c+Z_{t-1}+θ t+ε_t \),

onde c é uma constante, \( Z_o \) é um valor inicial não-aleatório para \( Z \), \( θ > 0 \), \( ε_t \) é um ruído branco, que tem distribuição normal e satisfaz as seguintes condições: \( E(ε_t)=0 \), \( E(ε_t^2)= σ^> 0 \) para todo \( t \), e \( E(ε_t ε_s)=0 \) para \( t ≠ s \).

Julgue como certo ou errado o item abaixo referente a esses dois modelos:

Item 4 - Em relação ao modelo (II), a variância de \( Z_t \) é igual a: \( Var(Z_t)=(c+ θ t) σ^2 \).

Considere os dois modelos de séries de tempo abaixo.

(I) \( Y_t=a{Y}_{t-1}+u_t+\beta u_{t-1} \),

onde \( 0 < a < 1 \), \( Y_o \) é um valor inicial não-aleatório para \( Y \), e \( u_t \) é um ruído branco, que tem distribuição normal e satisfaz as seguintes condições: \( E(u_t)=0 \) e \( E(u_t^2)= σ^ > 0 \) para todo \( t \), e \( E(u_tu_s)=0 \) para \( t ≠ s \).

(II) \( Z_t=c+Z_{t-1}+θ t+ε_t \),

onde c é uma constante, \( Z_o \) é um valor inicial não-aleatório para \( Z \), \( θ > 0 \), \( ε_t \) é um ruído branco, que tem distribuição normal e satisfaz as seguintes condições: \( E(ε_t)=0 \), \( E(ε_t^2)= σ^> 0 \) para todo \( t \), e \( E(ε_t ε_s)=0 \) para \( t ≠ s \).

Julgue como certo ou errado o item abaixo referente a esses dois modelos:

Item 3 - O modelo (II) pode ser representado por: \( Z_t=ct+\left({\large{θ \over 2}}\right)t^2+Z_0+\sum_{j=1}^t ε_j \)

Considere os dois modelos de séries de tempo abaixo.

(I) \( Y_t=a{Y}_{t-1}+u_t+\beta u_{t-1} \),

onde \( 0 < a < 1 \), \( Y_o \) é um valor inicial não-aleatório para \( Y \), e \( u_t \) é um ruído branco, que tem distribuição normal e satisfaz as seguintes condições: \( E(u_t)=0 \) e \( E(u_t^2)= σ^ > 0 \) para todo \( t \), e \( E(u_tu_s)=0 \) para \( t ≠ s \).

(II) \( Z_t=c+Z_{t-1}+θ t+ε_t \),

onde c é uma constante, \( Z_o \) é um valor inicial não-aleatório para \( Z \), \( θ > 0 \), \( ε_t \) é um ruído branco, que tem distribuição normal e satisfaz as seguintes condições: \( E(ε_t)=0 \), \( E(ε_t^2)= σ^> 0 \) para todo \( t \), e \( E(ε_t ε_s)=0 \) para \( t ≠ s \).

Julgue como certo ou errado o item abaixo referente a esses dois modelos:

Item 2 - Sendo \( ρ h={\large{γ h \over γ_0}} \), onde \( γ_h=E(Y_tY_{t+h}) \), temos o seguinte resultado para o modelo (I): \( ρ h={\large{(\beta +a)(1+a \beta) \over (1+2a \beta + \beta^2)}} \).

Considere os dois modelos de séries de tempo abaixo.

(I) \( Y_t=a{Y}_{t-1}+u_t+\beta u_{t-1} \),

onde \( 0 < a < 1 \), \( Y_o \) é um valor inicial não-aleatório para \( Y \), e \( u_t \) é um ruído branco, que tem distribuição normal e satisfaz as seguintes condições: \( E(u_t)=0 \) e \( E(u_t^2)= σ^ > 0 \) para todo \( t \), e \( E(u_tu_s)=0 \) para \( t ≠ s \).

(II) \( Z_t=c+Z_{t-1}+θ t+ε_t \),

onde c é uma constante, \( Z_o \) é um valor inicial não-aleatório para \( Z \), \( θ > 0 \), \( ε_t \) é um ruído branco, que tem distribuição normal e satisfaz as seguintes condições: \( E(ε_t)=0 \), \( E(ε_t^2)= σ^> 0 \) para todo \( t \), e \( E(ε_t ε_s)=0 \) para \( t ≠ s \).

Julgue como certo ou errado o item abaixo referente a esses dois modelos:

Item 1 - Em relação ao modelo (I), podemos escrever: \( γ_1=a( γ_0+ σ^2)+\beta σ^2 \), onde \( γ_0=E(Y_t^2) \) e \( γ_1=E(Y_tY_{t+1}) \).

Considere os dois modelos de séries de tempo abaixo.

(I) \( Y_t=a{Y}_{t-1}+u_t+\beta u_{t-1} \),

onde \( 0 < a < 1 \), \( Y_o \) é um valor inicial não-aleatório para \( Y \), e \( u_t \) é um ruído branco, que tem distribuição normal e satisfaz as seguintes condições: \( E(u_t)=0 \) e \( E(u_t^2)= σ^ > 0 \) para todo \( t \), e \( E(u_tu_s)=0 \) para \( t ≠ s \).

(II) \( Z_t=c+Z_{t-1}+θ t+ε_t \),

onde c é uma constante, \( Z_o \) é um valor inicial não-aleatório para \( Z \), \( θ > 0 \), \( ε_t \) é um ruído branco, que tem distribuição normal e satisfaz as seguintes condições: \( E(ε_t)=0 \), \( E(ε_t^2)= σ^> 0 \) para todo \( t \), e \( E(ε_t ε_s)=0 \) para \( t ≠ s \).

Julgue como certo ou errado o item abaixo referente a esses dois modelos:

Item 0 - Em relação ao modelo (I), podemos escrever: \( γ_0=a γ_1+ σ^2+\beta(a+\beta) σ^2 \), onde \( γ_0=E(Y^2_t) \) e \( γ_1=E(Y_tY_{t+1}) \)

Julgue a afirmativa abaixo, a respeito dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), em um modelo de regressão linear múltipla, \( y=\beta_0+\beta_1X_1+...+beta_kX_k+U \), com observações obtidas de uma amostra aleatória da população e que não apresentam multicolinearidade perfeita.

Item 4 - Os estimadores de mínimos quadrados ordinários e de máxima verossimilhança coincidem quando os erros são independentes e identicamente distribuídos.

Julgue a afirmativa abaixo, a respeito dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), em um modelo de regressão linear múltipla, \( y=\beta_0+\beta_1X_1+...+beta_kX_k+U \), com observações obtidas de uma amostra aleatória da população e que não apresentam multicolinearidade perfeita.

Item 3 - A presença de colinearidade imperfeita entre as variáveis explicativas gera estimadores ineficientes.

Julgue a afirmativa abaixo, a respeito dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), em um modelo de regressão linear múltipla, \( y=\beta_0+\beta_1X_1+...+beta_kX_k+U \), com observações obtidas de uma amostra aleatória da população e que não apresentam multicolinearidade perfeita.

Item 2 - Se o termo de erro for perfeitamente correlacionado com a variável explicativa é impossível obter o estimador de MQO.

Julgue a afirmativa abaixo, a respeito dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), em um modelo de regressão linear múltipla, \( y=\beta_0+\beta_1X_1+...+beta_kX_k+U \), com observações obtidas de uma amostra aleatória da população e que não apresentam multicolinearidade perfeita.

Item 1 - A omissão da variável explicativa relevante para explicar a variável dependente torna a estimativa dos parâmetros \( (\beta_1, ..., \beta_k) \) tendenciosa e inconsistente, se e somente se, a variável omitida for correlacionada com a respectiva varável explicativa \( (x_1,...,x_k) \) incluída no modelo.