Considere o seguinte modelo de regressão linear:

!$ y_i=\beta_0+\beta_1x_i+ε_i !$

onde !$ (y_i,x_1) !$, !$ i=1, \cdots n !$, são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e as seguintes hipóteses são válidas: !$ E[ε_i \mid X_i]=0 !$ e !$ Var[ε_i \mid X_i]=σ^2 !$, !$ i=1, \cdots,n !$. Defina !$ \overline{ε}={\large{\textstyle \sum_{i=1}^n ε_i \over n}} !$ e assuma que !$ \textstyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2 > 0 !$.

Baseado no modelo acima, podemos afirmar:

Item 4 - A hipótese !$ Var [ε_i \mid X_i]= σ^2 !$ é necessária para que o estimador de mínimos quadrados ordinários seja não-viesado.

Considere o seguinte modelo de regressão linear:

!$ y_i=\beta_0+\beta_1x_i+ε_i !$

onde !$ (y_i,x_1) !$, !$ i=1, \cdots n !$, são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e as seguintes hipóteses são válidas: !$ E[ε_i \mid X_i]=0 !$ e !$ Var[ε_i \mid X_i]=σ^2 !$, !$ i=1, \cdots,n !$. Defina !$ \overline{ε}={\large{\textstyle \sum_{i=1}^n ε_i \over n}} !$ e assuma que !$ \textstyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2 > 0 !$.

Baseado no modelo acima, podemos afirmar:

Item 3 - A hipótese !$ E[ε_i \mid X_i]=0 !$ é suficiente para que o estimador de mínimos quadrados ordinários seja o mais eficiente entre todos os estimadores lineares não-viesados.

Considere o seguinte modelo de regressão linear:

!$ y_i=\beta_0+\beta_1x_i+ε_i !$

onde !$ (y_i,x_1) !$, !$ i=1, \cdots n !$, são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e as seguintes hipóteses são válidas: !$ E[ε_i \mid X_i]=0 !$ e !$ Var[ε_i \mid X_i]=σ^2 !$, !$ i=1, \cdots,n !$. Defina !$ \overline{ε}={\large{\textstyle \sum_{i=1}^n ε_i \over n}} !$ e assuma que !$ \textstyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2 > 0 !$.

Baseado no modelo acima, podemos afirmar:

Item 2 - A hipótese !$ E[ε_i \mid X_i]=0 !$ é necessária para que o estimador de mínimos quadrados ordinários seja !$ \hat{\beta}_1 !$ não-viesado.

Considere o seguinte modelo de regressão linear:

!$ y_i=\beta_0+\beta_1x_i+ε_i !$

onde !$ (y_i,x_1) !$, !$ i=1, \cdots n !$, são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e as seguintes hipóteses são válidas: !$ E[ε_i \mid X_i]=0 !$ e !$ Var[ε_i \mid X_i]=σ^2 !$, !$ i=1, \cdots,n !$. Defina !$ \overline{ε}={\large{\textstyle \sum_{i=1}^n ε_i \over n}} !$ e assuma que !$ \textstyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2 > 0 !$.

Baseado no modelo acima, podemos afirmar:

Item 1 - O estimador de mínimos quadrados ordinários é não correlacionado com !$ \overline{ε} !$, isto é, !$ E[( \hat{\beta}_1-\beta_1) \overline{ε}]=0 !$.

Considere o seguinte modelo de regressão linear:

!$ y_i=\beta_0+\beta_1x_i+ε_i !$

onde !$ (y_i,x_1) !$, !$ i=1, \cdots n !$, são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e as seguintes hipóteses são válidas: !$ E[ε_i \mid X_i]=0 !$ e !$ Var[ε_i \mid X_i]=σ^2 !$, !$ i=1, \cdots,n !$. Defina !$ \overline{ε}={\large{\textstyle \sum_{i=1}^n ε_i \over n}} !$ e assuma que !$ \textstyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2 > 0 !$.

Baseado no modelo acima, podemos afirmar:

Item 0 - O estimador de mínimos quadrados ordinários para !$ \beta_1 !$ pode ser escrito como, !$ \hat{\beta}_1=\beta_1+ \textstyle \sum_{i=1}^n w_i ε_i !$, onde !$ w_i={\large{x_i- \bar{x} \over \textstyle \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}} !$.

Suponha que um pesquisador deseje estimar as duas equações abaixo:

(1) !$ ln(Y)=\beta_0+\beta_1 ln(X)+u !$,

(2) !$ ln \left({\large{Y \over X}} \right)=\alpha_0+\alpha_1 ln(X)+ν !$,

em que !$ u !$ e !$ ν !$ são os termos de erro em cada equação, e !$ X > 0 !$ e !$ Y > 0 !$.

Defina !$ y+ln(Y) !$, !$ x=ln(X) !$ e !$ z=ln\left({\large{Y \over X}} \right) !$. Usando uma mesma amostra aleatória da população de tamanho !$ n !$, o pesquisador estima essas duas equações pelo método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), obtendo os seguintes resultados:

(3) !$ \hat{y}=b_0+b_1x !$,

(4) !$ \hat{z}=\alpha_0+\alpha_1x !$.

Com base nessas informações, julgue a afirmativa abaixo:

Item 0 - !$ b_1=1+\alpha_1 !$.

Suponha que um pesquisador deseje estimar as duas equações abaixo:

(1) !$ ln(Y)=\beta_0+\beta_1 ln(X)+u !$,

(2) !$ ln \left({\large{Y \over X}} \right)=\alpha_0+\alpha_1 ln(X)+ν !$,

em que !$ u !$ e !$ ν !$ são os termos de erro em cada equação, e !$ X > 0 !$ e !$ Y > 0 !$.

Defina !$ y+ln(Y) !$, !$ x=ln(X) !$ e !$ z=ln\left({\large{Y \over X}} \right) !$. Usando uma mesma amostra aleatória da população de tamanho !$ n !$, o pesquisador estima essas duas equações pelo método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), obtendo os seguintes resultados:

(3) !$ \hat{y}=b_0+b_1x !$,

(4) !$ \hat{z}=\alpha_0+\alpha_1x !$.

Com base nessas informações, julgue a afirmativa abaixo:

Item 1 - !$ b_0=\alpha_0 !$.

Suponha que um pesquisador deseje estimar as duas equações abaixo:

(1) !$ ln(Y)=\beta_0+\beta_1 ln(X)+u !$,

(2) !$ ln \left({\large{Y \over X}} \right)=\alpha_0+\alpha_1 ln(X)+ν !$,

em que !$ u !$ e !$ ν !$ são os termos de erro em cada equação, e !$ X > 0 !$ e !$ Y > 0 !$.

Defina !$ y+ln(Y) !$, !$ x=ln(X) !$ e !$ z=ln\left({\large{Y \over X}} \right) !$. Usando uma mesma amostra aleatória da população de tamanho !$ n !$, o pesquisador estima essas duas equações pelo método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), obtendo os seguintes resultados:

(3) !$ \hat{y}=b_0+b_1x !$,

(4) !$ \hat{z}=\alpha_0+\alpha_1x !$.

Com base nessas informações, julgue a afirmativa abaixo:

Item 2 - Para cada observação i da amostra: !$ \hat{y}_1=z_1+x_1 !$.

Suponha que um pesquisador deseje estimar as duas equações abaixo:

(1) !$ ln(Y)=\beta_0+\beta_1 ln(X)+u !$,

(2) !$ ln \left({\large{Y \over X}} \right)=\alpha_0+\alpha_1 ln(X)+ν !$,

em que !$ u !$ e !$ ν !$ são os termos de erro em cada equação, e !$ X > 0 !$ e !$ Y > 0 !$.

Defina !$ y+ln(Y) !$, !$ x=ln(X) !$ e !$ z=ln\left({\large{Y \over X}} \right) !$. Usando uma mesma amostra aleatória da população de tamanho !$ n !$, o pesquisador estima essas duas equações pelo método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), obtendo os seguintes resultados:

(3) !$ \hat{y}=b_0+b_1x !$,

(4) !$ \hat{z}=\alpha_0+\alpha_1x !$.

Com base nessas informações, julgue a afirmativa abaixo:

Item 3 - Os resíduos nas equações (3) e (4) são idênticos.

Suponha que um pesquisador deseje estimar as duas equações abaixo:

(1) !$ ln(Y)=\beta_0+\beta_1 ln(X)+u !$,

(2) !$ ln \left({\large{Y \over X}} \right)=\alpha_0+\alpha_1 ln(X)+ν !$,

em que !$ u !$ e !$ ν !$ são os termos de erro em cada equação, e !$ X > 0 !$ e !$ Y > 0 !$.

Defina !$ y+ln(Y) !$, !$ x=ln(X) !$ e !$ z=ln\left({\large{Y \over X}} \right) !$. Usando uma mesma amostra aleatória da população de tamanho !$ n !$, o pesquisador estima essas duas equações pelo método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), obtendo os seguintes resultados:

(3) !$ \hat{y}=b_0+b_1x !$,

(4) !$ \hat{z}=\alpha_0+\alpha_1x !$.

Com base nessas informações, julgue a afirmativa abaixo:

Item 4 - O !$ R^2 !$ é o mesmo nas regressões correspondentes as equações (3) e (4).