Uma sonda robótica de monitoramento atmosférico move-se no espaço tridimensional em um referencial inercial \( S \). Em determinado intervalo de tempo, sua trajetória é descrita pelo vetor posição \( r \)⃗(\( t \)), em metros, dado por \( r \)⃗(\( t \)) = \( b \) cos(\( k \)\( t \)) \( \hat{i} \)+ \( b \) sen(\( k \)\( t \)) \( \hat{j} \)+ \( c \)\( t \)\( \hat{k} \), onde \( b \) = 4,0 m, \( k \) = 3,0 rad/s e \( c \) = 5,0 m/s são constantes positivas e \( t \) representa o tempo. De acordo com o formalismo do cálculo diferencial vetorial e as definições de velocidade e aceleração instantâneas, determine, correta e respectivamente, a velocidade escalar constante (\( v \)) e o módulo da aceleração (\( a \)) da sonda.

Em um estudo fictício avançado de cosmologia teórica, postula-se que a força de interação \( F \)⃗ entre duas massas escuras, \( m \)₁ e \( m \)2, separadas por uma distância \( r \), segue uma lei modificada expressa por

\(\vec{F} = \Gamma \dfrac{m_1 m_2}{r^4} e^{-\left(\dfrac{kr}{v}\right)}\)

onde \( v \) é uma velocidade constante e \( k \) representa uma frequência fundamental de oscilação do vácuo. Com base nessas informações, analise as seguintes assertivas sobre a física e a geometria envolvidas:

I. Para que a equação da força seja dimensionalmente consistente, a constante \( \Gamma \) deve possuir dimensões de [\( M \)] ⁻¹[\( L \)] ⁵[\( T \)] ⁻² no Sistema Internacional de Unidades.

II. O argumento da função exponencial \( \left(\dfrac{kr}{v}\right) \) é uma grandeza adimensional, o que está em conformidade com os princípios da análise dimensional para funções transcendentes.

III. Dados os vetores \( a \)⃗ = 3\( \hat{i} \)+ 2\( \hat{j} \)− \( \hat{k} \), \( b \)⃗ = \( \hat{i} \)− \( \hat{j} \)+ 2\( \hat{k} \) e \( c \)⃗ = 2\( \hat{i} \)+ 4\( \hat{j} \)+ 5\( \hat{k} \), o volume do paralelepípedo cujas arestas coincidem com esses vetores, calculado pelo módulo do produto misto | \( a \)⃗ ⋅ (\( b \)⃗ × \( c \)⃗) |, seria de 47 unidades de volume.

Quais estão corretas?