Considere \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) um operador linear cujos autovalores são \( \lambda_1=1,\lambda_2=2 \) e \( \lambda_3=3. \) Defina o determinante da matriz que representa a transformação linear resultante de \( T^2+I \), em que I é a matriz identidade.

Um sensor de monitoramento atmosférico deve percorrer a superfície de um domo protetor esférico, cuja equação é \( x^2 + y^2 + z^2 = 4 \). Devido à configuração do suporte eletromecânico, a trajetória do sensor é definida pela intersecção dessa esfera com um plano de equação: \( x + y + z = 1. \)

Considerando a trajetória fechada C resultante, assinale a alternativa correta que indica o vetor, com as coordenadas positivas, binormal à trajetória e o comprimento total do caminho que o sensor percorrerá sobre o domo.

Para a função \( f(x) = x \ln x \) (domínio: \( x>0 \)) , determine o intervalo em que a função é côncava para cima.

\(\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{e^{x^2+y^2} - 1}{x^2 + y^2}\)

Determine o valor do limite.

Num Laboratório, um experimento consiste em um segmento de reta horizontal de comprimento L = 4R que se desloca verticalmente para baixo com velocidade constante v. No instante t = 0, o segmento está com seu ponto central na posição y = R, tangenciando o topo de um sensor circular, de raio R, centrado na origem (0,0), no ponto (0,R). Assinale a alternativa correta que apresenta a expressão para a área varrida A(t) pelo segmento dentro do círculo em função do tempo.

Seja X uma variável aleatória contínua cuja função de densidade de probabilidade segue uma lei de potência do tipo Pareto, definida por: \( f(x) = \{3/x^4, \text{ para } x \geq 1; 0, \text{ para } x < 1\}. \)

Determine a expressão para a Função de Distribuição Acumulada, denotada por \( F(x) = P(X \leq x) \) para o intervalo \( x \geq 1 \) .

A distribuição exponencial com parâmetro \( \lambda \) descreve o tempo entre eventos em um processo de Poisson. Determine a esperança matemática \( E[X] \) utilizando a definição integral: \( E[X] = \int_{0}^{\infty} x \lambda e^{-\lambda x} dx. \)

Uma cônica é descrita em coordenadas polares pela equação \( r=\dfrac{e\cdot d}{(1+e\cos\theta)} \). Sabe-se que a excentricidade da curva é \( e=\dfrac{2}{\sqrt{3}} \).

Assinale a alternativa correta que indica o ângulo agudo \( \beta \) formado entre as direções das duas assíntotas dessa hipérbole.

Um tanque tem a forma de um hemisfério perfeito de raio R = 6 m e está, inicialmente, cheio de água. Um dreno no vértice inferior (ponto mais baixo) é aberto, e o fluido começa a escoar. Se, em um determinado instante, o nível da água está a h = 3 m e a superfície livre do líquido está descendo a uma taxa de 0,1 m/min, então assinale a alternativa correta que indica a taxa de variação do volume dV/dt nesse exato momento.

O valor eficaz, ou RMS (Root Mean Square), de uma função periódica v(t), com período T, é definido matematicamente como a raiz quadrada da média do quadrado da função ao longo de um ciclo.

\( V_{RMS} = \sqrt{\dfrac{1}{T} \int_{0}^{T} [v(t)]^2 dt} \)

Considere o sinal de saída de um retificador de meia onda apresentado na figura, na qual a tensão é descrita por:

\( v(\omega t)=V_m\text{sen}(\omega t) \) para \( 0\le\omega t\le\pi; \)

\( v(\omega t)=0 \) para \( \pi < \omega t \le 2\pi. \)

Com base na figura e na aplicação do cálculo integral, assinale a alternativa correta que indica o valor de V_RMS em função da tensão de pico V_m.