Três partículas puntiformes de mesmas cargas positivas são fixadas, todas sobre o eixo \( x \), no interior do círculo tracejado centrado em uma delas. Uma quarta partícula de carga negativa é fixada por uma haste isolante sobre o eixo \( y \), seguindo a geometria indicada.

Dados:

cargas das partículas positivas: \( +Q \); carga da partícula negativa: \( -Q \); constante eletrostática do meio: \( k \).

Observação:

despreze as forças gravitacionais.

A força de compressão na haste é:

Considere duas máquinas térmicas onde a potência de acionamento de um ciclo de refrigeração é obtida integralmente através da potência disponibilizada por um ciclo motor.

Dados:

temperatura de fonte quente do ciclo motor: \( 727 ^\circ C \); temperatura de fonte fria do ciclo motor: \( 27 ^\circ C \); temperatura de fonte quente do ciclo de refrigeração: \( 27 ^\circ C \); taxa de calor rejeitado da fonte quente no ciclo motor: \( 800 kJ/min \); taxa de calor rejeitado do ciclo de refrigeração para a fonte quente: \( 5040 kJ/min \).

Observação:

admita que os dois ciclos são compostos por processos termodinamicamente reversíveis.

No contexto das informações acima, a temperatura da fonte fria do ciclo de refrigeração, em \( ^\circ C \), é:

O circuito da Figura 1 é empregado para medir a temperatura de um cômodo. Um dos componentes do circuito é o termistor, que é um resistor cuja resistência varia com a temperatura. Considerando o comportamento da resistência dado pelo gráfico da Figura 2 e o fato da potência fornecida pela fonte de \( 15 V \) ser de \( 22,5 W \), a temperatura do cômodo, em \( ^\circ C \), é:

Num determinado instante, uma partícula de carga negativa está com velocidade horizontal ortogonal a um fio infinito, por onde circula uma corrente elétrica constante, provocando na posição dela nesse instante um campo magnético de módulo \( B \). Sabe-se que a partícula vai passar por um dos 5 pontos indicados na figura.

Observações:

despreze os efeitos gravitacionais; as linhas tracejadas e o fio estão no mesmo plano; as linhas tracejadas desenhadas na figura definem 4 quadrados; caso o fio fosse substituído por um gerador de campo magnético constante de módulo \( B \), ortogonal ao plano, a partícula descreveria uma circunferência de raio igual ao lado de cada quadrado.

A partícula passará então pelo ponto:

ABCDEF é um octaedro regular de aresta a, tal que suas diagonais são \( \overline{AE} \), \( \overline{BF} \) e \( \overline{CD} \). M é o ponto sobre a aresta AF tal que \( \overline{FM} = a/3 \), N é o ponto sobre a aresta AD tal que \( \overline{DN} = a/3 \) e P é o ponto sobre a aresta DB tal que \( \overline{DP} = a/3 \). O ângulo \( M\hat{N}P \) é:

A imagem abaixo mostra um círculo de raio r, um quadrado de lado L e um retângulo. Os pontos em preto indicam o centro da circunferência e os locais de contato entre ela e as demais figuras. A área de interseção do quadrado com o retângulo abaixo é 11 u². O valor, em unidade u, do raio r da circunferência é:

Considere a hipérbole dada pela equação \( \dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1 \). Sejam \( F \) e \( F' \) seus focos onde \( F \) pertence ao semi-eixo positivo e \( F' \) ao semi-eixo negativo. Seja \( T \) o ponto simétrico ao foco \( F \) em relação à assíntota de coeficiente angular positivo. O valor do raio do circulo inscrito ao triângulo \( F'TF \) é:

O maior número real A tal que

\( A \le \dfrac{\log_{\sqrt{e}}(x) - 2 \ln(\dfrac{x}{e}) + 6}{3 - \left| \ln\left(\dfrac{1}{x^5}\right) \right| + \sqrt{\ln(x^4e^2) - 2}} \), para todo \( x \in [1, e) \),

onde e denota o número de Euler é:

Considere o sistema de equações no qual \( \theta \) é um parâmetro real.

\( \begin{cases} sen(\theta)x - cos(\theta)y - sen(\theta)z = 2025 \\ cos(\theta)x + sen(\theta)y - cos(\theta)z = 2026 \\ sen(\theta) \cdot cos(\theta)x + cos^2(\theta)y + sen(\theta) \cdot cos(\theta)z = 2030 \end{cases} \)

O conjunto de todos os valores de \( \theta \) que tornam o sistema impossível é:

Considere as matrizes com coeficientes reais

\( A = \begin{pmatrix} x & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} x + 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \text{ e } C = \begin{pmatrix} x + 1 & 0 & 0 \\ 0 & x + 1 & x \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \)

onde os determinantes de A, B e C formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. A soma de todos os valores possíveis de x é: