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Um chefe necessita fazer uma previsão do número de barris de petróleo que serão produzidos pela Petrobras nos próximos anos. Para tal, ele fez um levantamento histórico do número de barris de petróleo produzidos nos últimos cinco anos. A tabela abaixo mostra esse levantamento.
|
Ano
!$ t !$
|
Produção em milhões de barris
!$ Y_t !$
|
| 2005 | 596,25 |
| 2006 | 628,80 |
| 2007 | 638,02 |
| 2008 | 663,28 |
| 2009 | 711,88 |
O chefe disse a um funcionário que encontrasse o modelo que minimizasse o erro quadrático médio, utilizando o modelo linear para previsão. O funcionário constatou que o modelo linear é dado pela equação: Produção(t) = b0 + b1(t), onde t representa o ano em que a produção acontece. Sendo as variáveis de decisão da otimização dadas por b0 = coeficiente linear da reta b1 = coeficiente angular da reta a função-objetivo que o funcionário deve minimizar é dada por
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No contexto de programação linear, considere as afirmações abaixo.
I - Uma restrição redundante é sempre fácil de ser reconhecida.
II - O preço-sombra de uma restrição é uma constante no intervalo permissível de variação das constantes (RHS) das restrições.
III - Existe um custo reduzido associado a cada restrição do modelo.
IV - Um custo reduzido diferente de zero está sempre associado a uma variável de decisão que na solução ótima tem seu valor igual a zero.
São corretas APENAS as afirmativas
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Dado o problema de programação linear
!$ Min\, 3x_1-5x_2 \\ s.r. \\ -10x_1+2x_2=20\\6x_1-6x_2 \le 36 \\ x_1 \ge 0 \\ ∀x_2 \, ∈ \mathbb{R} !$
O dual desse problema é dado por
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Considere o Caso 2 a seguir para responder a questão.
CASO 2
A Petrobras vai lançar mais um produto inovador: trata-se do Podium AD, um aditivo que limpa os bicos injetores de motores de automóveis. O Podium AD está disponível no mercado em duas embalagens: limpeza leve (250 ml) e limpeza pesada (1.000 ml), ambas com duas opções de formulação: com ou sem solução detergente, usada para a limpeza do motor como um todo. Para fabricar o Podium AD sem solução detergente, é necessária a combinação de três ingredientes: água destilada, etanol e o aditivo D+. Para o produto com solução detergente, um quarto ingrediente – detergente D+ – é necessário numa proporção de, no mínimo, 3% e, no máximo, 5% por litro de produto. Na sua preparação, não existe perda volumétrica, isto é, a quantidade de litros fabricados é exatamente igual à soma de litros das matérias-primas utilizadas. A quantidade mensal disponível e os custos dos ingredientes são mostrados na Tabela I.
Tabela I
| Matéria-Prima | Quantidade Disponível | Custo por Litro |
| Aditivo D+ | 60.000 litros | R$ 6,00 |
| Etanol | 45.000 litros | R$ 1,90 |
| Água destilada | 80.000 litros | R$ 0,20 |
| Detergente D+ | 40.000 litros | R$ 0,90 |
Existem também custos de fabricação. As máquinas utilizadas no processo apresentam uma capacidade suficiente para suprir a demanda prevista. Existe um custo de produção variável igual a R$ 1,00 por litro de aditivo sem solução detergente e R$ 1,60 por litro de aditivo com solução detergente. A mão de obra é remunerada por produção, tendo um custo de R$ 3,00 por litro de Podium AD, independente do tipo de formulação. Cada embalagem para o produto Limpeza Leve custa R$0,40 e para a Limpeza Pesada, R$0,60.
A administração da Petrobras espera que o produto seja um sucesso de vendas. Através de pesquisas de mercado, foram estimados a demanda e os preços de cada produto que são mostrados na Tabela II.
Tabela II
| Produto | Preço | Demanda de unidades |
| 1 - Limpeza leve com solução detergente | R$ 22,00 | 30.000 |
| 2 - Limpeza leve sem solução detergente | R$ 20,00 | 40.000 |
| 3 - Limpeza pesada com solução detergente | R$ 65,00 | 10.000 |
| 4 - Limpeza pesada sem solução detergente | R$ 60,00 | 15.000 |
Considere que tudo que for produzido será vendido e que as variáveis de decisão e auxiliares na modelagem de um problema de programação linear são as seguintes:
!$ X_{ij}= !$ quantidade de litros da matéria-prima no produto j
!$ N_j= !$ nº de unidade do produto produzidos/vendidos
!$ Q_i= !$ quantidade de litros da matéria-prima utilizados na produção de todos os produtos
!$ i= \begin{cases}1- Aditivo \, D+ \\ 2- Etanol \\ 3- Água \, destilada \\ 4- Detegente \, D+ \end{cases} !$
!$ j= \begin{cases}1- Limpeza \, Leve \, com \, detergente \\ 2- Limpeza \, Leve \, sem \, detergente \\ 3- Limpeza \, Pesada \, com \, detergente \\ 4- Limpeza\, Pesada \, sem \, detergente \end{cases} !$
O conjunto de inequações que representam as restrições de percentagens mínima e máxima do detergente D+ é dado por
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Considere o Caso 2 a seguir para responder a questão.
CASO 2
A Petrobras vai lançar mais um produto inovador: trata-se do Podium AD, um aditivo que limpa os bicos injetores de motores de automóveis. O Podium AD está disponível no mercado em duas embalagens: limpeza leve (250 ml) e limpeza pesada (1.000 ml), ambas com duas opções de formulação: com ou sem solução detergente, usada para a limpeza do motor como um todo. Para fabricar o Podium AD sem solução detergente, é necessária a combinação de três ingredientes: água destilada, etanol e o aditivo D+. Para o produto com solução detergente, um quarto ingrediente – detergente D+ – é necessário numa proporção de, no mínimo, 3% e, no máximo, 5% por litro de produto. Na sua preparação, não existe perda volumétrica, isto é, a quantidade de litros fabricados é exatamente igual à soma de litros das matérias-primas utilizadas. A quantidade mensal disponível e os custos dos ingredientes são mostrados na Tabela I.
Tabela I
| Matéria-Prima | Quantidade Disponível | Custo por Litro |
| Aditivo D+ | 60.000 litros | R$ 6,00 |
| Etanol | 45.000 litros | R$ 1,90 |
| Água destilada | 80.000 litros | R$ 0,20 |
| Detergente D+ | 40.000 litros | R$ 0,90 |
Existem também custos de fabricação. As máquinas utilizadas no processo apresentam uma capacidade suficiente para suprir a demanda prevista. Existe um custo de produção variável igual a R$ 1,00 por litro de aditivo sem solução detergente e R$ 1,60 por litro de aditivo com solução detergente. A mão de obra é remunerada por produção, tendo um custo de R$ 3,00 por litro de Podium AD, independente do tipo de formulação. Cada embalagem para o produto Limpeza Leve custa R$0,40 e para a Limpeza Pesada, R$0,60.
A administração da Petrobras espera que o produto seja um sucesso de vendas. Através de pesquisas de mercado, foram estimados a demanda e os preços de cada produto que são mostrados na Tabela II.
Tabela II
| Produto | Preço | Demanda de unidades |
| 1 - Limpeza leve com solução detergente | R$ 22,00 | 30.000 |
| 2 - Limpeza leve sem solução detergente | R$ 20,00 | 40.000 |
| 3 - Limpeza pesada com solução detergente | R$ 65,00 | 10.000 |
| 4 - Limpeza pesada sem solução detergente | R$ 60,00 | 15.000 |
Considere que tudo que for produzido será vendido e que as variáveis de decisão e auxiliares na modelagem de um problema de programação linear são as seguintes:
!$ X_{ij}= !$ quantidade de litros da matéria-prima no produto j
!$ N_j= !$ nº de unidade do produto produzidos/vendidos
!$ Q_i= !$ quantidade de litros da matéria-prima utilizados na produção de todos os produtos
!$ i= \begin{cases}1- Aditivo \, D+ \\ 2- Etanol \\ 3- Água \, destilada \\ 4- Detegente \, D+ \end{cases} !$
!$ j= \begin{cases}1- Limpeza \, Leve \, com \, detergente \\ 2- Limpeza \, Leve \, sem \, detergente \\ 3- Limpeza \, Pesada \, com \, detergente \\ 4- Limpeza\, Pesada \, sem \, detergente \end{cases} !$
O conjunto de equações que representam as definições das variáveis auxiliares !$ Q_i !$ é dado por
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Considere o Caso 2 a seguir para responder a questão.
CASO 2
A Petrobras vai lançar mais um produto inovador: trata-se do Podium AD, um aditivo que limpa os bicos injetores de motores de automóveis. O Podium AD está disponível no mercado em duas embalagens: limpeza leve (250 ml) e limpeza pesada (1.000 ml), ambas com duas opções de formulação: com ou sem solução detergente, usada para a limpeza do motor como um todo. Para fabricar o Podium AD sem solução detergente, é necessária a combinação de três ingredientes: água destilada, etanol e o aditivo D+. Para o produto com solução detergente, um quarto ingrediente – detergente D+ – é necessário numa proporção de, no mínimo, 3% e, no máximo, 5% por litro de produto. Na sua preparação, não existe perda volumétrica, isto é, a quantidade de litros fabricados é exatamente igual à soma de litros das matérias-primas utilizadas. A quantidade mensal disponível e os custos dos ingredientes são mostrados na Tabela I.
Tabela I
| Matéria-Prima | Quantidade Disponível | Custo por Litro |
| Aditivo D+ | 60.000 litros | R$ 6,00 |
| Etanol | 45.000 litros | R$ 1,90 |
| Água destilada | 80.000 litros | R$ 0,20 |
| Detergente D+ | 40.000 litros | R$ 0,90 |
Existem também custos de fabricação. As máquinas utilizadas no processo apresentam uma capacidade suficiente para suprir a demanda prevista. Existe um custo de produção variável igual a R$ 1,00 por litro de aditivo sem solução detergente e R$ 1,60 por litro de aditivo com solução detergente. A mão de obra é remunerada por produção, tendo um custo de R$ 3,00 por litro de Podium AD, independente do tipo de formulação. Cada embalagem para o produto Limpeza Leve custa R$0,40 e para a Limpeza Pesada, R$0,60.
A administração da Petrobras espera que o produto seja um sucesso de vendas. Através de pesquisas de mercado, foram estimados a demanda e os preços de cada produto que são mostrados na Tabela II.
Tabela II
| Produto | Preço | Demanda de unidades |
| 1 - Limpeza leve com solução detergente | R$ 22,00 | 30.000 |
| 2 - Limpeza leve sem solução detergente | R$ 20,00 | 40.000 |
| 3 - Limpeza pesada com solução detergente | R$ 65,00 | 10.000 |
| 4 - Limpeza pesada sem solução detergente | R$ 60,00 | 15.000 |
Considere que tudo que for produzido será vendido e que as variáveis de decisão e auxiliares na modelagem de um problema de programação linear são as seguintes:
!$ X_{ij}= !$ quantidade de litros da matéria-prima no produto j
!$ N_j= !$ nº de unidade do produto produzidos/vendidos
!$ Q_i= !$ quantidade de litros da matéria-prima utilizados na produção de todos os produtos
!$ i= \begin{cases}1- Aditivo \, D+ \\ 2- Etanol \\ 3- Água \, destilada \\ 4- Detegente \, D+ \end{cases} !$
!$ j= \begin{cases}1- Limpeza \, Leve \, com \, detergente \\ 2- Limpeza \, Leve \, sem \, detergente \\ 3- Limpeza \, Pesada \, com \, detergente \\ 4- Limpeza\, Pesada \, sem \, detergente \end{cases} !$
O conjunto de equações que representam as definições das variáveis auxiliares !$ N_j !$ é dado por
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Considere o Caso 2 a seguir para responder a questão.
CASO 2
A Petrobras vai lançar mais um produto inovador: trata-se do Podium AD, um aditivo que limpa os bicos injetores de motores de automóveis. O Podium AD está disponível no mercado em duas embalagens: limpeza leve (250 ml) e limpeza pesada (1.000 ml), ambas com duas opções de formulação: com ou sem solução detergente, usada para a limpeza do motor como um todo. Para fabricar o Podium AD sem solução detergente, é necessária a combinação de três ingredientes: água destilada, etanol e o aditivo D+. Para o produto com solução detergente, um quarto ingrediente – detergente D+ – é necessário numa proporção de, no mínimo, 3% e, no máximo, 5% por litro de produto. Na sua preparação, não existe perda volumétrica, isto é, a quantidade de litros fabricados é exatamente igual à soma de litros das matérias-primas utilizadas. A quantidade mensal disponível e os custos dos ingredientes são mostrados na Tabela I.
Tabela I
| Matéria-Prima | Quantidade Disponível | Custo por Litro |
| Aditivo D+ | 60.000 litros | R$ 6,00 |
| Etanol | 45.000 litros | R$ 1,90 |
| Água destilada | 80.000 litros | R$ 0,20 |
| Detergente D+ | 40.000 litros | R$ 0,90 |
Existem também custos de fabricação. As máquinas utilizadas no processo apresentam uma capacidade suficiente para suprir a demanda prevista. Existe um custo de produção variável igual a R$ 1,00 por litro de aditivo sem solução detergente e R$ 1,60 por litro de aditivo com solução detergente. A mão de obra é remunerada por produção, tendo um custo de R$ 3,00 por litro de Podium AD, independente do tipo de formulação. Cada embalagem para o produto Limpeza Leve custa R$0,40 e para a Limpeza Pesada, R$0,60.
A administração da Petrobras espera que o produto seja um sucesso de vendas. Através de pesquisas de mercado, foram estimados a demanda e os preços de cada produto que são mostrados na Tabela II.
Tabela II
| Produto | Preço | Demanda de unidades |
| 1 - Limpeza leve com solução detergente | R$ 22,00 | 30.000 |
| 2 - Limpeza leve sem solução detergente | R$ 20,00 | 40.000 |
| 3 - Limpeza pesada com solução detergente | R$ 65,00 | 10.000 |
| 4 - Limpeza pesada sem solução detergente | R$ 60,00 | 15.000 |
Considere que tudo que for produzido será vendido e que as variáveis de decisão e auxiliares na modelagem de um problema de programação linear são as seguintes:
!$ X_{ij}= !$ quantidade de litros da matéria-prima no produto j
!$ N_j= !$ nº de unidade do produto produzidos/vendidos
!$ Q_i= !$ quantidade de litros da matéria-prima utilizados na produção de todos os produtos
!$ i= \begin{cases}1- Aditivo \, D+ \\ 2- Etanol \\ 3- Água \, destilada \\ 4- Detegente \, D+ \end{cases} !$
!$ j= \begin{cases}1- Limpeza \, Leve \, com \, detergente \\ 2- Limpeza \, Leve \, sem \, detergente \\ 3- Limpeza \, Pesada \, com \, detergente \\ 4- Limpeza\, Pesada \, sem \, detergente \end{cases} !$
Qual a função-objetivo que pode ser utilizada na modelagem do caso, de maneira a maximizar o lucro da Petrobras na venda do novo produto?
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Considere o Caso 1 a seguir para responder a questão.
CASO 1
Nos próximos cinco anos, a Petrobras pretende investir, anualmente, até 300 milhões de reais em seu sistema de gasodutos e oleodutos que transportam os diversos derivados entre as suas diferentes unidades produtoras e os seus centros de refino e distribuição, dentro do Programa Tecnólogico de Dutos - PROTRAN. Os investimentos podem ser na reabilitação dos dutos já existentes e que estejam perto do final de sua vida útil (entre 20 e 30 anos) ou na implantação de novos dutos.
O processo de reabilitação de dutos consiste da pintura in situ das partes interna e externa de cada duto e depende do desenvolvimento, pelo CENPES (Centro de Pesquisas da PETROBRAS), de uma tinta especial. Sem esse desenvolvimento, o processo de reabilitação fica economicamente inviável e não pode ser executado.
Para todos os projetos foram calculados os Valores Presentes Líquidos(VPL), e os que se apresentaram economicamente viáveis (VPL positivo) estão sob a análise do comitê de investimentos da empresa. Esse comitê tem de decidir que projeto deve ou não ser realizado sujeito às restrições de investimento da empresa, maximizando o retorno para a empresa. Os projetos sob análise são os seguintes, com valores em milhões de reais:
| Capital requerido | ||||||
| Projeto | VPL (8% a.a.) | ANO 1 | ANO 2 | ANO 3 | ANO 4 | ANO 5 |
| 1 | 100 | 170 | 70 | 70 | 50 | 20 |
| 2 | 70 | 50 | 30 | 30 | 20 | 10 |
| 3 | 30 | 60 | 10 | 10 | 10 | - |
| 4 | 120 | 130 | 60 | 50 | 50 | 50 |
| Investimento disponível | 300 | 300 | 300 | 300 | 300 | |
Projeto 1 – Construção de novo gasoduto Campinas-Rio de Janeiro que ligará a Refinaria de Paulínia (Replan) ao terminal de Japeri (RJ).
Projeto 2 – Reabilitação do gasoduto Pilar (AL)/Ipojuca (PE) através de pintura interna in situ.
Projeto 3 – Desenvolvimento da tinta a ser utilizada na recuperação de gasodutos.
Projeto 4 - Construção de novo gasoduto Campinas- Jacutinga que ligará a Refinaria de Paulínia (Replan) ao terminal de Jacutinga (MG).
Considere as variáveis de decisão como variáveis binárias designadas por
!$ \begin{cases}1, se \, o \, projeto\, i \, for \, executado \\ 0, se \, o \, projeto\, i \, NÂO \, for \, executado \end{cases} !$
O Método que é utilizado para resolver esse tipo de problema é o
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Considere o Caso 1 a seguir para responder a questão.
CASO 1
Nos próximos cinco anos, a Petrobras pretende investir, anualmente, até 300 milhões de reais em seu sistema de gasodutos e oleodutos que transportam os diversos derivados entre as suas diferentes unidades produtoras e os seus centros de refino e distribuição, dentro do Programa Tecnólogico de Dutos - PROTRAN. Os investimentos podem ser na reabilitação dos dutos já existentes e que estejam perto do final de sua vida útil (entre 20 e 30 anos) ou na implantação de novos dutos.
O processo de reabilitação de dutos consiste da pintura in situ das partes interna e externa de cada duto e depende do desenvolvimento, pelo CENPES (Centro de Pesquisas da PETROBRAS), de uma tinta especial. Sem esse desenvolvimento, o processo de reabilitação fica economicamente inviável e não pode ser executado.
Para todos os projetos foram calculados os Valores Presentes Líquidos(VPL), e os que se apresentaram economicamente viáveis (VPL positivo) estão sob a análise do comitê de investimentos da empresa. Esse comitê tem de decidir que projeto deve ou não ser realizado sujeito às restrições de investimento da empresa, maximizando o retorno para a empresa. Os projetos sob análise são os seguintes, com valores em milhões de reais:
| Capital requerido | ||||||
| Projeto | VPL (8% a.a.) | ANO 1 | ANO 2 | ANO 3 | ANO 4 | ANO 5 |
| 1 | 100 | 170 | 70 | 70 | 50 | 20 |
| 2 | 70 | 50 | 30 | 30 | 20 | 10 |
| 3 | 30 | 60 | 10 | 10 | 10 | - |
| 4 | 120 | 130 | 60 | 50 | 50 | 50 |
| Investimento disponível | 300 | 300 | 300 | 300 | 300 | |
Projeto 1 – Construção de novo gasoduto Campinas-Rio de Janeiro que ligará a Refinaria de Paulínia (Replan) ao terminal de Japeri (RJ).
Projeto 2 – Reabilitação do gasoduto Pilar (AL)/Ipojuca (PE) através de pintura interna in situ.
Projeto 3 – Desenvolvimento da tinta a ser utilizada na recuperação de gasodutos.
Projeto 4 - Construção de novo gasoduto Campinas- Jacutinga que ligará a Refinaria de Paulínia (Replan) ao terminal de Jacutinga (MG).
Considere as variáveis de decisão como variáveis binárias designadas por
!$ \begin{cases}1, se \, o \, projeto\, i \, for \, executado \\ 0, se \, o \, projeto\, i \, NÂO \, for \, executado \end{cases} !$
A inequação que representa a restrição de dependência entre os projetos 2 e 3 é dada por
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Considere o Caso 1 a seguir para responder a questão.
CASO 1
Nos próximos cinco anos, a Petrobras pretende investir, anualmente, até 300 milhões de reais em seu sistema de gasodutos e oleodutos que transportam os diversos derivados entre as suas diferentes unidades produtoras e os seus centros de refino e distribuição, dentro do Programa Tecnólogico de Dutos - PROTRAN. Os investimentos podem ser na reabilitação dos dutos já existentes e que estejam perto do final de sua vida útil (entre 20 e 30 anos) ou na implantação de novos dutos.
O processo de reabilitação de dutos consiste da pintura in situ das partes interna e externa de cada duto e depende do desenvolvimento, pelo CENPES (Centro de Pesquisas da PETROBRAS), de uma tinta especial. Sem esse desenvolvimento, o processo de reabilitação fica economicamente inviável e não pode ser executado.
Para todos os projetos foram calculados os Valores Presentes Líquidos(VPL), e os que se apresentaram economicamente viáveis (VPL positivo) estão sob a análise do comitê de investimentos da empresa. Esse comitê tem de decidir que projeto deve ou não ser realizado sujeito às restrições de investimento da empresa, maximizando o retorno para a empresa. Os projetos sob análise são os seguintes, com valores em milhões de reais:
| Capital requerido | ||||||
| Projeto | VPL (8% a.a.) | ANO 1 | ANO 2 | ANO 3 | ANO 4 | ANO 5 |
| 1 | 100 | 170 | 70 | 70 | 50 | 20 |
| 2 | 70 | 50 | 30 | 30 | 20 | 10 |
| 3 | 30 | 60 | 10 | 10 | 10 | - |
| 4 | 120 | 130 | 60 | 50 | 50 | 50 |
| Investimento disponível | 300 | 300 | 300 | 300 | 300 | |
Projeto 1 – Construção de novo gasoduto Campinas-Rio de Janeiro que ligará a Refinaria de Paulínia (Replan) ao terminal de Japeri (RJ).
Projeto 2 – Reabilitação do gasoduto Pilar (AL)/Ipojuca (PE) através de pintura interna in situ.
Projeto 3 – Desenvolvimento da tinta a ser utilizada na recuperação de gasodutos.
Projeto 4 - Construção de novo gasoduto Campinas- Jacutinga que ligará a Refinaria de Paulínia (Replan) ao terminal de Jacutinga (MG).
Considere as variáveis de decisão como variáveis binárias designadas por
!$ \begin{cases}1, se \, o \, projeto\, i \, for \, executado \\ 0, se \, o \, projeto\, i \, NÂO \, for \, executado \end{cases} !$
O conjunto de inequações que representam as restrições orçamentárias é dado por
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