Deseja-se obter um modelo de regressão para estimar y a partir das variáveis independentes X₁ e X₂. Com esse objetivo, foram obtidas 5 observações conforme o quadro a seguir:

Considere o modelo de regressão múltipla y_i = \( \beta \)₀ + \( \beta \)₁x_i1 + \( \beta \)₂x_i2 + e_i onde e_i ∼ N(0,\( \sigma^2 \)), atendendo todas as premissas necessárias para o modelo e os dados:

\( X \, = \, \begin {bmatrix} 1 \,\, 1 \,\, 1 \\ 1 \,\, 2 \,\, 3 \\ 1 \,\, 3 \,\, 2 \\ 1 \,\, 1 \,\, 2 \\ 1 \,\, 2 \,\, 1 \end {bmatrix} \,\, Y \, = \, \begin {bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \end {bmatrix} \,\, (x^t x)^{-1} x^ty \, = \, \begin {bmatrix} ^1/_2 \\ ^2/_3 \\ ^1/_6 \end {bmatrix} \)

onde X^t é a transposta de X. Então, é correto afirmar que

Considere uma amostra aleatória de n pares de valores de duas variáveis, X_i e Y_i, com i = 1,2, ..., n e admitindo-se que Y é função linear de X, pode-se estabelecer uma regressão linear simples da forma Y_i = \( \beta \)₀ + \( \beta \)₁X_i + e_i, onde \( \beta \)₀ e \( \beta \)₁ são parâmetros desconhecidos, X é a variável independente e Y é a variável dependente. O erro e_i é uma série de valores independentes e identicamente distribuídos com e_i ∼ N(0,\( \sigma ^2 \)).

Uma amostra aleatória de 10 pares de valores X_i e Y_i forneceu o quadro ANOVA a seguir:

Assim, os valores de R² (o coeficiente de determinação) e da estatística do teste F (Razão F) são dados, respectivamente, por

Considere uma amostra aleatória de n pares de valores de duas variáveis, X_i e Y_i, com i = 1,2, ..., n e admitindo-se que Y é função linear de X, pode-se estabelecer uma regressão linear simples da forma Y_i = \( \beta \)₀ + \( \beta \)₁X_i + e_i, onde \( \beta \)₀ e \( \beta \)₁ são parâmetros desconhecidos, X é a variável independente e Y é a variável dependente. O erro e_i é uma série de valores independentes e identicamente distribuídos com e_i ∼ N(0,\( \sigma^2 \)).

No modelo de regressão linear simples

Quanto aos testes não paramétricos, é correto afirmar que

Uma amostra aleatória de tamanho 9 é extraída, com reposição, de uma população normalmente distribuída, média \( \mu \) e variância desconhecida. Deseja-se testar a hipótese, com base nos dados da amostra, que a média \( \mu \) da população é menor que 15 ao nível de significância de 5%. Foram formuladas as hipóteses: H₀: \( \mu \) = 15 (hipótese nula) e H₁: \( \mu \) < 15 e utilizou-se o teste t de Student.

Dados:

Quantis da distribuição t de Student (t_{\( \alpha \)}) tal que a probabilidade P(t > t_{\( \alpha \)}) = \( \alpha \) com n graus de liberdade:

n 7 8 9

t0,05 1,90 1,86 1,83

Se a variância amostral foi igual a 4, conclui-se que o menor valor que pode ser encontrado para a média amostral \( \bar{X} \) tal que não se cometa um erro tipo I é igual a

Seja a função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória X dada por f(x) = \( \lambda \)e^{−\( \lambda \)x}, se x > 0 e f(x) = 0, caso contrário. A partir de uma amostra aleatória de tamanho 5 correspondente a valores dessa variável, ou seja, {1, 2, 2, 3, 2}, obtém-se pelo método dos momentos que uma estimativa pontual de \( \lambda \) é igual a

A média e o desvio padrão de uma variável aleatória X, que apresenta uma distribuição binomial com parâmetros n e p, são iguais a 9 e 1,5, respectivamente. Sabendo-se que n é um número inteiro estritamente positivo e p \( \in \) [0, 1], então a função geradora de momentos de X, denotada por M_x(t), é igual a

Uma amostra aleatória de tamanho 36 é extraída, com reposição, de uma população normalmente distribuída com um desvio padrão populacional igual a 48. O valor encontrado para a média amostral foi igual a 468 e deseja-se testar a hipótese, com base nos dados da amostra e a um nível de significância \( \alpha \), que a média \( \mu \) da população é inferior a 480. Sejam as hipóteses H₀: \( \mu \) = 480 (hipótese nula) e H₁: \( \mu \) < 480 (hipótese alternativa).

Tem-se, então, que H₀ não é rejeitada

Observação: Caso necessário, utilize a Tabela da Distribuição Normal Reduzida.

O intervalo de confiança de 96% igual a [47, 53] para a média \( \mu \) de uma população normalmente distribuída com 325 elementos foi obtido por meio de uma amostra aleatória de 100 elementos, sem reposição, extraída da população. Na obtenção do intervalo, foi utilizada a variância populacional. Caso a opção fosse por extrair da população com 325 elementos uma amostra aleatória independente da primeira de tamanho 36, sem reposição, com um nível de confiança de 86%, a amplitude do novo intervalo seria, então, de

Para responder às questões de números 35 a 37, utilize a tabela abaixo correspondente à curva normal padrão (Z) tal que a probabilidade P(Z \( \le \) z) = \( \alpha \)

Em um órgão público com grande número de funcionários, observa-se que os salários desses funcionários estão normalmente distribuídos com média \( \mu \) e uma variância populacional igual a \( \alpha^2 \). Em um levantamento, apurou-se que 7% dos funcionários ganham menos que R$ 3.000,00 e 16% ganham mais que R$ 8.000,00.

A porcentagem de funcionários que ganham um salário que difere da média em mais de R$ 1.000,00 é igual a